Обработка массивов

Поиск элементов массива с максимальным и минимальным значениями:
• max(A) возвращает наибольший элемент, если A – вектор; или возвращает вектор-строку, содержащую максимальные элементы каждого столбца, если A – матрица;
• max(A,B) возвращает массив того же размера, что и A (или B), каждый элемент которого есть максимальный из соответствующих элементов этих массивов;
• max(A,[ ],dim) возвращает наибольший элемент по столбцам или по строкам матрицы в зависимости от значения скаляра dim.

Например,max(A,[ ],1) возвращает максимальные элементы каждого столбца матрицы A;
• [C,I] = max(A) – кроме максимальных значений, возвращает вектор индексов элементов с этими значениями.
Примеры:
>> A=magic(7)

A =
30 39 48 1 10 19 28
38 47 7 9 18 27 29
46 6 8 17 26 35 37
5 14 16 25 34 36 45
13 15 24 33 42 44 4
21 23 32 41 43 3 12
31 40 49 2 11 20
>> C = max(A)
C = 46 47 48 49 43 44 45
>> C = max(A,[ ],1)
C = 46 47 48 49 43 44 45

>> C = max(A,[ ],2)
C =
48
47
46
45
44
43
49
>> [C,I] = max(A)
C = 46 47 48 49 43 44 45
I = 3 2 1 7 6 5 4
Для нахождения элемента массива с минимальным значением служат подобные функции:
min(A) min(A,B) min(A,[ ],dim) [C,I] = min(A)

Сортировка элементов массива
[s, i] = sort (x)
[s, i] = sort (x, dim)
[s, i] = sort (x, mode)
[s, i] = sort (x, dim, mode)
• sort(A) в случае одномерного массива A сортирует и возвращает элементы по возрастанию их значений;
в случае двумерного массива происходят
сортировка и возврат элементов каждого столбца.
i - массив индексов исходного массива
mode=‘ascend’ - сортировка по возрастанию, ‘descend’ - по убыванию.
dim=1 для матрицы сортировка по столбцам, 2 - по строкам.

V =
-0.51301 -0.52824 -0.21580 -0.64126
0.14051 -0.57329 -0.42226 0.68796
-0.17928 0.36181 0.59941 -0.69113
-0.77139 0.32716 -0.17473 0.51710
>> [D,I]=sort(V)
D =
-0.77139 -0.57329 -0.42226 -0.69113
-0.51301 -0.52824 -0.21580 -0.64126
-0.17928 0.32716 -0.17473 0.51710
0.14051 0.36181 0.59941 0.68796
I =
4 2 2 3
1 1 1 1
3 4 4 4
2 3 3 2

[s, i] = sortrows (A)
[s, i] = sortrows (A, c)
Сортировка строк, в соответствии с сортировкой первого столбца (по умолчанию) или столбца с номером с. (если с<0 сортировка по убыванию)
I = >> F=sortrows(I) >> F1=sortrows(I,-2)
F = F1 =
4 2 2 3 1 1 1 1 3 4 4 4
1 1 1 1 2 3 3 2 2 3 3 2
3 4 4 4 3 4 4 4 4 2 2 3
2 3 3 2 4 2 2 3 1 1 1 1

Задание
Решить задачу на собственные значения для матрицы
Отсортировать собственные векторы в соответствии с собственными значениями, которые должны быть отсортированы в убывающем порядке.

Статистическая обработка данных
Статистическая обработка данных, представляющих собой реализации случайных величин, заключается в вычислении таких характеристик случайных величин, как математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, начальные и центральные моменты, коэффициент асимметрии и эксцесса, корреляционная матрица, эмпирический закон распределения.

Математическое ожидание (среднее значение)
mean (x)
mean (x, dim)
mean (x, opt)
mean (x, dim, opt)
Вычисляется по формуле:
Если Х – матрица, то среднее вычисляется для каждого столбца матрицы. Результат вектор-строка.
dim=1 (по умолчанию) для матрицы вычисление по столбцам, 2 - по строкам.

opt – определяет следующие выборы вычисления:
“a” – среднее арифметическое (по умолчанию)
“h” – среднее гармоническое
“g” – среднее геометрическое
Элементы x – положительны.

Медиана выборки
median (x)
median (x, dim)
Для вычисления медианы нужно отсортировать массив Х (s=sort(X)). Тогда:

Стандартное и среднее квадратическое отклонения
std (x)
std (x, opt)
std (x, opt, dim)

Коэффициент асимметрии распределений случайных величин
skewness (x)
skewness (x, flag)
skewness (x, flag, dim)
Асимметрия – мера скошенности графика плотности распределения по отношению к нормальному распределению, вычисляется по формуле:

Коэффициент эксцесса распределения случайной величины
kurtosis (x)
kurtosis (x, flag)
kurtosis (x, flag, dim)
Эксцесс – мера высоты графика плотности распределения по отношению к нормальному распределению (=3), вычисляется по формуле:

Квартили
Предоставляют важную информацию о структуре вариационного ряда. Вместе с медианой они делят вариационный ряд на 4 равные части. Квартилей две, их обозначают символами Q, верхняя и нижняя квартиль. 25% значений меньше, чем нижняя квартиль, 75% значений меньше, чем верхняя квартиль.

statistics (x)
statistics (x, dim)
Для вектора Х возвращает следующие статистические характеристики:
min(x), 1-й квартиль, медиану, третий квартиль, max(x), mean(x), std(x), асиммерию, эксцесс
Пример
>> X=randn(1,1000);
>> statistics (X)
min 1 med 3
-2.724709 -0.671729 0.029226 0.690743
max mean std ass
2.703021 0.012462 0.963554 -0.037872 2.729541

>> X=randn(1,10000);
>> statistics (X)
min 1 med 3
-3.5173146 -0.6750578 -0.0096442 0.6592135 max mean std ass
3.6071385 -0.0047585 0.9926368 0.0312958 2.9634857
>> X=randn(1,100000); statistics (X)
min 1 med 3
-4.2626814 -0.6733263 0.00220971 0.67382284
max mean std ass
4.8990076 0.0016832 0.99919802 -0.00013567 2.99073352

Построение гистограммы
hist (y)
hist (y, nbins)
>> X=randn(1,10000); hist (X,101)

Дискретное преобразование Фурье
В цифровой обработке сигналов широкое применение находит преобразование Фурье, которое сопоставляет каждой функции времени (t) функцию от частоты (f).
Это преобразование задается парой соотношений:

fft (x) N – число елементов вектора x
fft (x, n) N=n
fft (x, n, dim) N=n
На ЭВМ выполнить операции над непрерывными функциями невозможно, поэтому непрерывные функции дискретизируются по времени и по частоте и преобразование Фурье выполняется над векторами: (j – мнимая единица)

Задание Найти преобразование Фурье сигнала, задаваемого соотношением:
Выберите интервал дискретизации по времени dt, время наблюдения Т>2*tau,
число отсчетов сигнала n=tau/dt, общее число отсчетов N=T/dt
Задайте анонимную функцию, вычисляющую сигнал, выполните преобразование Фурье и постройте график
модуля преобразования Фурье.

Сигнал