Представление информации в цифровых автоматах. Системы счисления

Система счисления – совокупность приемов и правил наименования и обозначения чисел, позволяющих установить взаимно однозначное соответствие между любым числом и его представлением в виде конечного числа символов.
В любой системе счисления выбирается алфавит, представляющий собой совокупность некоторых символов (или знаков).

Древний Восток: (СС)12
вилки, ложки, тарелки;
Английская система мер – 1 фут-12 дюймов;
1 шиллинг – 12 пенсов;
12 мес в году; дюжина.
Древний Вавилон : (СС)60
1 час = 60м мин.
1 мин = 60 сек.

Все системы счисления можно разделить на позиционные и непозиционные.
Непозиционная система счисления – система, в которой символы, обозначающие то или иное количество, не меняют своего значения в зависимости от местоположения (позиции) в изображении числа.

Система счисления, в которой значение цифры определяется местоположением (позицией) в изображении числа, называется позиционной.
Упорядоченный набор символов (цифр) (a0, a1, …, an), используемый для представления любых чисел в заданной позиционной СС, называют ее алфавитом, число символов (цифр) алфавита p=n+1 – ее основанием, а саму СС называют р-ричной.
Основание позиционной СС – количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной СС.

(СС)10
Алфавит – 0123456789, а основание р = 10.
В 10-чной СС каждый разряд имеет вес, равный степени 10. Следовательно, значение одной и той же цифры определяется ее местоположением в изображении числа, характеризуемым степенью числа 10.
Например:
222,22 = 2*102+2*101+2*100+2*10-1+2*10-2

Например, десятичное число 35 в СС с основанием р=12,10,8,4,3,2 будет иметь вид:
2В12 =2*121 +11*120
3510=3*101+5*100
438=4*81+3*80
2034=2*42+0*41+3*40
10223=1*33+0*32+2*31+2*30
1000112=1*25+0*24+0*23+0*22+1*21+1*20

Из приведенных примеров видно, что с уменьшением основания системы счисления уменьшается число используемых цифр, но возрастает количество разрядов.
Все известные позиционные СС являются аддитивно-мультипликативными.
(числительные русского языка- 568 пять сотен плюс шесть десятков плюс восемь)

СС используются для построения на их основе различных кодов в системах передачи, хранения и преобразования информации.
Код – система условных знаков (символов ) для представления различной информации.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ЧИСЛА 35 В ВИДЕ СИГНАЛОВ ПРИ РАЗНЫХ СИСТЕМАХ СЧИСЛЕНИЯ

Анализ СС и построенных на их основе кодов с позиций применения в системах передачи, хранения и преобразования информации показывает, что чем больше основание системы, тем меньше число разрядов требуется для представления данного числа, а следовательно и меньшее время для его передачи.

Однако с ростом основания существенно повышаются требования к аппаратуре формирования и распознавания элементарных сигналов, соответствующих различным символам. Логические элементы вычислительных устройств в этом случае должны иметь большее число устойчивых состояний.
С точки зрения минимальных затрат условного оборудования наиболее экономичной является СС с основанием 3.
Незначительно ей уступают ей двоичная и четверичная. СС с основанием 10 и более существенно менее эффективны.
Сравнивая эти системы с точки зрения удобства физической реализации соответствующих им логических элементов и простоты выполнения в них арифметических и логических действий, предпочтение в настоящее время отдается двоичной СС.
Действительно логические элементы, соответствующие этой СС должны иметь всего два устойчивых состояния. Задача различения сигналов сводится к задаче обнаружения (есть импульс или его нет), что значительно проще.
Арифметические и логические действия также легче осуществляются в двоичной системе.

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Для перевода десятичного числа в восьмеричную систему его необходимо последовательно делить на 8 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 7. Число в восьмеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число перевести в восьмеричную систему счисления.

Для перевода десятичного числа в шестнадцатеричную систему его необходимо последовательно делить на 16 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 15. Число в шестнадцатеричной системе записывается как последовательность цифр последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.
Пример. Число 746710 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Таблица 1. Наиболее важные системы счисления.

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную, его нужно разбить на триады (тройки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую триаду нулями, и каждую триаду заменить соответствующей восьмеричной цифрой
Пример. Число 10010112 перевести в восьмеричную систему счисления.

Чтобы перевести число из двоичной системы в шестнадцатеричную, его нужно разбить на тетрады (четверки цифр), начиная с младшего разряда, в случае необходимости дополнив старшую тетраду нулями, и каждую тетраду заменить соответствующей восьмеричной цифрой
Пример. Число 10111000112 перевести в шестнадцатеричную систему счисления

Для перевода восьмеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой.
Пример. Число 5318 перевести в двоичную систему счисления.
Для перевода шестнадцатеричного числа в двоичное необходимо каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной тетрадой.
Пример. Число ЕЕ816 перевести в двоичную систему счисления.

При переходе из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно, необходим промежуточный перевод чисел в двоичную систему.
Пример 1. Число FEA16 перевести в восьмеричную систему счисления
Пример 2. Число 66358 перевести в шестнадцатеричную систему счисления.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в 10-ричной СС.
При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые имеют место при данном основании р СС.

Таблицы сложения и умножения в троичной системе счисления
Выполнить действия в троичной системе счисления