РћРњРћР__Лекция 2_Дискретные Рё непрерывные РјРѕРґРµРРё

Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2.
Дискретные и непрерывные модели Аппроксимация
§1. Задача о размножении кроликов
Последовательности
§2. Задача о ступеньках из домино
Ряды
§3. Задача о площади сектора
Функции
§4. Задача об эксплуатации автомобиля
Аппроксимация
§5. Математическое моделирование

§1. Задача о размножении кроликов
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Леона́рдо Пиза́нский
1170-1250

§1. Задача о размножении кроликов
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
В своей книге «Liber Abaci» (1202) Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая, что:
изначально есть новорожденная пара кроликов (самец и самка);
со второго месяца после своего рождения кролики начинают спариваться,
и каждый месяц производить новую пару кроликов;
кролики никогда не умирают.
Сколько пар кроликов будет через n месяцев?

§1. Задача о размножении кроликов
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§1. Задача о размножении кроликов
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Обозначим через A пару зрелых кроликов, а через B – пару новорожденных кроликов. Тогда процесс «размножения» может быть описан с помощью двух «переходов»:
A – AB моделирует ежемесячное превращение каждой зрелой пары кроликов А в две пары, а именно в ту же самую пару зрелых кроликов А и новорожденную пару кроликов В;
B – A моделирует процесс «созревания» кроликов, когда новорожденная пара кроликов В через месяц превращается в зрелую пару А.

§1. Задача о размножении кроликов
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§1. Задача о размножении кроликов
Последовательности
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§1. Задача о размножении кроликов
Последовательности
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Последовательность – числовая функция натурального аргумента.
Способы задания последовательности
описание;
перечисление элементов;
формула общего члена;
рекуррентная формула;
графический.

§1. Задача о размножении кроликов
Последовательности
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Свойства последовательностей
стационарность;
цикличность;
монотонность;
ограниченность.
Операции над последовательностями
сложение;
вычитание;
умножение;
деление;
умножение на число.

§1. Задача о размножении кроликов
Последовательности
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Частные случаи последовательностей
арифметическая прогрессия:
геометрическая прогрессия:
Предел последовательности

§2. Задача о ступеньках из домино
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§2. Задача о ступеньках из домино
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§2. Задача о ступеньках из домино
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Пантаев
Михаил Юрьевич

§2. Задача о ступеньках из домино
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§2. Задача о ступеньках из домино
Ряды
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§2. Задача о ступеньках из домино
Ряды
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова» Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Ряд – это бесконечная сумма.
Виды рядов
числовые ряды;
положительные;
знакопеременные;
знакочередующиеся;
функциональные;
степенные;
тригонометрические;
…

§2. Задача о ступеньках из домино
Ряды
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова» Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Вычисление (исследование) рядов

§3. Задача о площади сектора
Функции
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Мордкович
Александр Григорьевич

§3. Задача о площади сектора
Функции
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§3. Задача о площади сектора
Функции
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Числовой функцией с областью определения D называется зависимость, при которой каждому числу из множества D ставится в соответствие единственное число y, обычно обозначаемое у=f(x).1
Способы задания функций
описание;
табличный;
графический;
аналитический.
__________
1 Сравните с определением Лекции 1 (слайд 31).

§3. Задача о площади сектора
Функции
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Свойства функций
монотонность;
ограниченность;
чётность/нечётность;
периодичность.
Операции над функциями
сложение;
вычитание;
умножение;
деление;
умножение на число;
суперпозиция.

§3. Задача о площади сектора
Функции
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Основные элементарные функции
линейная;
квадратичная;
степенная;
показательная;
логарифмическая;
тригонометрические;
обратные тригонометрические.

§3. Задача о площади сектора
Функции
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Предел функции

§4. Задача об эксплуатации автомобиля
Аппроксимация
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
В результате исследования зависимости между сроком эксплуатации автомобиля и расходами на его ремонт получены следующие данные:
Составьте линейную зависимость стоимости ремонта от срока эксплуатации.
Определите предполагаемую
величину затрат на ремонт
на 10-й год эксплуатации.

§4. Задача об эксплуатации автомобиля
Аппроксимация
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Аппроксима́ция (от лат. proxima – ближайшая) или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным, но более простыми.
Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов.

§4. Задача об эксплуатации автомобиля
Аппроксимация
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
Интерполя́ция интерполи́рование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.
Экстраполя́ция, экстраполи́рование — особый тип аппроксимации, при котором функция аппроксимируется вне заданного интервала, а не между заданными значениями.

ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
§4. Задача об эксплуатации автомобиля
Аппроксимация
Метод наименьших квадратов

ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
§4. Задача об эксплуатации автомобиля
Аппроксимация
Метод наименьших квадратов

ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
§4. Задача об эксплуатации автомобиля
Аппроксимация
Метод наименьших квадратов

ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Математическое моделирование – идеальное, научное, знаковое моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследования модели проводятся с использованием математических методов.
§5. Математическое моделирование
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§5. Математическое моделирование
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Классификация математических моделей
в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§5. Математическое моделирование
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§5. Математическое моделирование
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§5. Математическое моделирование
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§5. Математическое моделирование
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§5. Математическое моделирование
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Классификация математических моделей в зависимости от:
Сложности объекта моделирования;
Оператора модели;
Входных и выходных параметров;
Способа исследования модели;
Цели моделирования.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

§5. Математическое моделирование
ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Этапы построения математической модели
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
Абатурова Вера Сергеевна
к.п.н.; зав. отделом образовательных и информационных технологий Южного математического института Владикавказского научного центра РАН;
директор ВЦНМО
§5. Математическое моделирование
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели

ФГБОУ ВО «УлГПУ им. И.Н. Ульянова»
Основы математической обработки информации
лектор Макеева О.В.
а - количество единиц травы, которое было на лугу первоначально;
b - количество единиц травы, которое ежедневно вырастает на лугу;
с - количество единиц травы, которое ежедневно съедает одна корова.
Ответ: 20 коров.
1. Выбор переменных.
2. Запись ограничений на переменные.
3. Формулировка требований задачи на языке математики (с помощью переменных).
4. Решение математической задачи.
5. Интерпретация результатов. Запись ответа.
Лекция 2. Дискретные и непрерывные модели
§5. Математическое моделирование