Системы счисления

Цели занятия:
1) Закрепить понятия «число», «цифра»
2) Раскрыть понятия «система счисления», «алфавит» системы счисления
3) Ознакомить учащихся с историей развития систем счисления и дать их классификацию
4) Закрепить умения:
- представление числа в различных системах счисления
- представление числа в развернутой и свернутой формах
- научиться переводить числа из различных систем
счисления в десятичную

Содержание
1. Основные понятия. Виды систем счисления
2. Непозиционные системы счисления
3. Позиционные системы счисления
4. Десятичная система счисления
5. Двоичная система счисления
6. Восьмеричная система счисления
7. Шестнадцатеричная система счисления
8. Перевод чисел в десятичную сс
9. Задания для самостоятельного выполнения

Основные понятия
Система счисления
- это способ записи чисел и правила действий над этими числами
Число
- это величина, а не символьная запись
Цифра
- набор символов, участвующих в записи числа
Алфавит
- совокупность различных цифр, используемых для записи числа

зависит
не зависит

Непозиционные системы счисления

= 3 4 5

= 60 +20+2 = 82

X X X I I
= 32
D X L I I
= 542
Найдите значения чисел:

– основание (p)
Совокупность всех цифр
– алфавит
Позиционные системы могут иметь различный алфавит (2,3,4 знака).
Позиционные системы счисления
Каждая позиционная система счисления имеет определенный алфавит и основание.
системы счисления

Алфавиты систем счисления
Для записи чисел в позиционной системе с основанием р нужно иметь алфавит из р цифр. При р > 10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.
Позиция цифры в числе называется разрядом.

ПРИМЕРЫ: (перепиши, вставляя пропущенные числа)
p = 10 (десятичная с/c)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 и т.д.
p = 4 (четверичная с/c)
1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 __ __ __ __
3. p = 2 (двоичная с/c)
1 10 11 100 101 110 111 1000 ___ 1010 1011 ____ ___ ___ ___ 10000 _____ _____
4. p = 16 (шестнадцатеричная с/c)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B ___ ___ ___ ___

Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой.
Её основание равно десяти, т.к. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - алфавит.

Рассмотрим десятичное число 555:
5 5 5 10
единицы
десятки
сотни
Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в десять раз больше правой.

В развернутой форме записи числа умножение цифр производится в явной форме:
55510 = 5·102 + 5·101 + 5·100
Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания:
555,5510 = 5·102 + 5·101 + 5·100 + 5·10-1 + 5·10-2
2 1 0 -1 -2
Любое число в отрицательной степени = единица / число в положительной степени: 10 -1 =1/10 1 , 10-2 = 1/102

Двоичная система счисления является позиционной системой счисления.
Алфавит двоичной системы – две цифры (0,1), основание равно 2.
Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в два раза больше правой.

В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве цифр 0 или1.
Число в свернутой форме записывается так:
101,012
101,012 = 1·22 + 0·21 + 1·20 + 0·2-1 + 1·2-2
= 5,2510

Восьмеричная система счисления является позиционной системой счисления.
Алфавит восьмеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7), основание равно 8.
Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в восемь раз больше правой.

В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания 8 с коэффициентами, в качестве цифр от 0 до 7.
Число в свернутой форме записывается так:
137,28
137,28 = 1·82 + 3·81 + 7·80 + 2·8-1
= 95,2510

Шестнадцатеричная система счисления является позиционной системой счисления.
Алфавит шестнадцатеричной системы – цифры (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F), основание равно 16.
Из двух написанных рядом одинаковых цифр левая в шестнадцать раз больше правой.
(Десятичное значение: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15)

В развернутой форме число записывается в виде суммы ряда степеней основания 16 с коэффициентами, в качестве цифр от 0 до F, выражая шестнадцатеричные цифры через их десятичное значение (A=10, F=15).
Число в свернутой форме записывается так:
12A,416
12A,416 = 1·162 + 2·161 + 10·160 + 4·16-1
= 298,2510

Алгоритм перевода чисел,
записанных в произвольной системе счисления,
в десятичную систему счисления
1. Записать число в развернутой форме в виде сумм ряда степеней основания системы счисления с коэффициентами в качестве цифр данной системы счисления.
2. Вычислить полученную сумму.
231,24 = 2·42 + 3·41 + 1·40 + 2·4-1
= 45,510
1123 =
1346 =
1·32 + 1·31 + 2·30 = 1410
1·62 + 3·61 + 4·60 = 5810

Задания для самостоятельного выполнения
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6

Ответ: а) 341 (р=5) в) 222 (р=3)
б) 123 (р=4) г) 111 (р=2)
Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа:
а) 341
б) 123
в) 222
г) 111

Ответ: а) в троичной СС для записи чисел используются цифры 0 1 2 , значит цифры 79 и 531 записаны неверно
б) в девятиричной СС для записи чисел используются цифры 0 1 2 3 4 5 6 7 8, значит цифры 419 и 4А записаны неверно
Какое число ошибочно записано в:
а) троичной СС – 79, 212, 531
б) девятеричной СС – 419, 832, 4А

Ответ: 11112 = 1510.
Какое максимальное число можно записать в двоичной системе счисления четырьмя цифрами?
Переведите полученное число в десятичную систему счисления.

Ответ: четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, а нечетное – на 1.
а) 1012 = 510 б) 1102 = 610
в) 10012 = 910 г) 1002 = 410
Определите четное число или нечетное:
а) 1012
б) 1102
в) 10012
г) 1002
Сформулируйте критерий четности в двоичной системе счисления.

Ответ: да, если считать числа в задаче, представленными в двоичной системе счисления:
112= 1⋅21 + 1⋅20 = 310;
1102 = 1⋅22 + 1⋅21 + 0⋅20 = 4 + 2 = 610
Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок.
Возможно ли это? Обоснуйте ответ.