Системы счисления

В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы:
Например, VI = 5 + 1 = 6, а IX = 10 - 1 = 9.

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.
Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией.
Совокупность цифр, которые можно использовать для записи числа, с установленным лексикографическим порядком называется алфавитом системы счисления.
В современной математике используется позиционная десятичная система счисления (0…9).

В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом:
в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях.
В позиционной системе счисления большая цифра соответствует большему значению числа.
Например, для чисел 123 и 234,
1 меньше 2, поэтому число 123 меньше, чем число 234.
В непозиционной системе счисления это правило не действует.
Например, для чисел IX и VI.
Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.

Обозначение числа в системе счисления по основанию р:
Например, 5557 -- число, записанное в семеричной системе счисления.
В нем могут встречаться цифры от 0 до 6.
Начиная с 11-тиричной системы счисления число 10 заменяется буквой английского алфавита А
Таким образом, в 16-тиричной системе счисления 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С,D,E,F

Запись произвольного числа X в P-ичной позиционной системе счисления основывается на представлении этого числа в виде многочлена:
Xр=an*pn+an-1*pn-1+ a1*p1+a0*p0,
где an...a0 -- цифры в представлении данного числа.
Так, например,
103510=1*103+0*102+3*101+5*100;
10102 = 1*23+0*22+1*21+0*20

Перевод чисел в десятичную систему счисления
Любое десятичное число можно представить в виде
x = a0*pn + a1*pn-1 + ... + an-1*p1 + an*p0,
где a0 ... an -- это цифры данного числа в системе счисления с основанием p.
Пример
Переведем число 4A3F16 в десятичную систему.
По определению, 4A3F16 = 4*163+A*162+3*16+F.
Заменив A на 10, а F на 15, получим 4*163+10*162+3*16+15= 19007.

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
Перевод целых чисел.
1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых неполных частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим неполное частное, меньшее делителя;
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
Пример. Перевести десятичное число 315 в восьме­ричную и в шестнадцатеричную системы:
Отсюда следует: 31510 = 4738 = 13В16. Напомним, что 1110 = В16.

Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2n)
Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2n (4, 8, 16 и т.д.), нужно:
1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;
2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;
3) рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q = 2n

Таблицы перевода