2_Calculations

План
Абсолютная и относительная погрешности
Запись и округление чисел
Способы оценки погрешностей вычислений
Метод границ
Дифференциальная оценка
Обратная задача теории погрешностей
Инструменты приближенных вычислений

Абсолютная погрешность
Пусть X – точное значение некоторой величины (обычно неизвестное), – число, принятое за ее приближенное значение (X ≈ x).
Разность X – x называют погрешностью приближенного значения x, а модуль
εx = |X – x|
- абсолютной погрешностью величины x.

Предельные погрешности
Предельной абсолютной погрешностью, являющейся верхней границей, называют такое по возможности наименьшее число, для которого справедливо неравенство:
Δx  |X – x|

Пример.
Число π = 3.141592653589…
может округляться по-разному в зависимости от потребностей задачи:
π ≈ 3.14 Δπ = 0.0016 или Δπ = 0.002
π ≈ 3.1416 Δπ = 0.000008 или Δπ = 0.00001

Предельные погрешности
Предельная относительная погрешность приближенного числа – это отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения:
Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример.
Относительная погрешность округления числа π ≈ 3.14 :
В процентах:
Округление погрешностей рассмотрим позже.

Границы точного результата
Если известны х и Δх , то принято записывать:
Опр. Любая пара чисел НГх и ВГх, такая, что НГх ≤ х ≤ ВГх называется нижней и верхней границей приближенного числа х.

Пример.
Ширина шкафа S известна приближенно с погрешностью Δs , ширина двери H и её погрешность Δh . При каком условии шкаф гарантированно пройдет в дверь?
ВГ шкафа < НГ двери
s + Δs < h - Δh

Значащие цифры
Определение. Все цифры десятичной записи числа, начиная с первой ненулевой слева, называются значащими.
308,6170 – 7 значащих цифр
0,00235 – 3 значащих цифры
!!! 57 000 – 5 з.ц., 5,7*104 – 2 з.ц.,
570*102 – 3 з.ц.

Упражнение
Определите количество значащих цифр в записи чисел:
0,0050
- 38,412
4100
20*105
2
5
4
2
?

Округление чисел
Определение: округлением числа называют замену его близким по величине, но с меньшим количеством значащих цифр.
Различают 3 вида округления:
Симметричное округление – к ближайшему числу: 3,6≈4; 3,67≈3,7; 3,4≈3; 3,42≈3,4
С избытком - к большему числу: 3,6≈4; 3,2≈4
С недостатком - к меньшему числу (округление отсечением): 3,67≈3,6; 3,2≈3.

Округление погрешностей
Правило:
В записи погрешности обычно оставляют только 1-2 значащие цифры.
Для сохранения условия, соответствующего определению предельной погрешности, округление её всегда производят с избытком.
Это правило распространяется как на абсолютную, так и на относительную погрешности.

Пример.
В рассмотренном ранее примере вычисления площади относительная погрешность должна была округляться следующим образом:

НГ приближенного числа округляют с недостатком, ВГ - с избытком.
Абсолютная погрешность приближенного числа, полученного при округлении с недостатком (избытком) равна единице последнего сохраненного разряда: 1,2776≈1,27; Δ=0,01.
Симметричное округление дает меньшую ошибку - половину единицы последнего разряда: 1,2776≈1,28; Δ=0,005.

Верные цифры
Определение. Цифра в записи числа а, называется верной, если погрешность не превосходит единицы её разряда; цифра верная в строгом смысле - если погрешность не превосходит половины её разряда.

Пример
Определить верные цифры:
Решение:
1: 10 ≥ 0.08 - верная
8: 1 ≥ 0.08 - верная
5: 0.1 ≥ 0.08 - верная
7: 0.01≤ 0.08 - сомнительная
2: 0.001 ≤ 0.08 - сомнительная
в широком смысле

Пример
Для приближённого числа x=72,256 известна абсолютная погрешность
Δх= 0,01. Требуется определить его верные значащие цифры в а) широком и
б) строгом смыслах.

x=72,256 Δх= 0,01.
а) Решение:
2: 0.1 ≥ 0.01 - верная
5: 0.01= 0.01 – верная
6: 0.001≤ 0.01 - сомн.
Ответ: верные в широком смысле цифры 7;2;2;5
а 6 - сомнительная
б) Решение:
2: 0.05 ≥ 0.01 - верная
5: 0.005 ≤ 0.01 – сомн.
Ответ: верные в строгом смысле цифры 7;2;2
а 5 и 6 - сомнительные

Верная цифра не обязательно буквально совпадает с соответствующей цифрой точного числа. Х= 1,999 – точное число, x= 2,000 – его приближение. Тогда Δх=0,001, и, следовательно, три первые цифры верные, хотя ни одна из них не совпадает с соответствующими цифрами точного числа.

Если исходные данные приводятся без указания погрешностей, но с известными верными цифрами, то погрешность можно определить, исходя из определения верной цифры.
Пример. Х=4,06 Δх=0,01 (в широком см.)
Х=4,06 Δх=0,005 (строгом см.)
Если не уточняется трактовка смысла (широкая, строгая), то по умолчанию принимается строгий вариант.

Запись приближенных чисел
Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр.
Если полученный в результате вычислений результат содержит излишнее количество сомнительных значащих цифр, то его округляют.

Запись приближённых чисел
Правило: в промежуточных результатах вычислений обычно сохраняют 1-2 сомнительные цифры, а окончательные результаты округляют с сохранением не более одной сомнительной цифры.

Упражнение
Приближённое значение х=24,6035 имеет относительную погрешность δ=0,1%. Найти Δх и округлить число х с точностью до верных цифр.
?

Решение

Оценка погрешности
вычисления функции
Определим, как вычислить погрешность функции, некоторые аргументы которой заданы приближенно.
Задачу нахождения погрешности функции по заданным погрешностям приближенных аргументов называют основной задачей теории погрешностей.

Оценка погрешности
по способу границ
Пусть y=f(x) - функция, для которой необходимо найти погрешность, a - приближенное исходное данное и известны НГа и ВГа.
Необходимо определить y=f(x), НГу и ВГу.
Для нахождения границ результата вычисляют y1=f(НГx) и y2=f(ВГx), а затем меньшее из этих значений принимают за НГy, а большее за ВГy и округляют нижнее с недостатком, а верхнее с избытком.

Пример:
Решение.
НГy =1.362
ВГy =1.364

Рассмотрим случай двух переменных

Замечание
Прежде чем производить расчет для всех возможных вариантов (для n – переменных это 2n), необходимо попытаться оценить характер зависимости от некоторых переменных.
Пример. Как оценить, какие границы аргументов использовать для НГF и ВГF?

Дифференциальная оценка погрешности
Теорема. Пусть x, y являются приближениями к точным значениям аргументов X, Y с абсолютными погрешностями Δx и Δy. Если функция z=f(x,y) дифференцируема, Mx и My – максимумы частных производных
то абсолютная дифференциальная погрешность функции

Дифференциальная оценка погрешности
Замечание. При малых значениях Δx и Δy можно вместо максимумов частных производных в прямоугольнике брать значения производных с приближенными значениями аргументов:

Пример
Пусть x=-0,68±0,004, y=1,134±0,0003. Требуется найти значение z для f(x,y)= x2+sin y и оценить погрешность дифференциальным способом.

f(x,y)= x2+sin y

Пример
Пусть в выражении
все числа приближённые и записаны верными цифрами. Требуется найти значение d и определить абсолютную и относительную погрешности.

Решение
Для функции трех переменных:

Обратная задача теории погрешностей
Обратная задача теории погрешностей состоит в том, что по заданной абсолютной погрешности функции необходимо определить, каковы должны быть абсолютные погрешности ее аргументов.

Обратная задача теории погрешностей
Одна и та же суммарная оценка погрешности функции нескольких аргументов, вычисляемая, например, дифференциальным способом, может быть получена при различных распределениях погрешностей аргументов.

Обратная задача теории погрешностей
Для решения обратной задачи обычно пользуются принципом «равных влияний»:
Тогда

Инструменты приближенных вычислений
Электронные таблицы
Математические пакеты
Среды программирования

Точность представления чисел в компьютере
Для вещественных чисел используется нормализованное представление в форме с плавающей запятой:
x = ± M ∙ 10P
порядок
мантисса
Точность представления чисел зависит от длины разрядной сетки. Данные с одинарной точностью имеют не более 7 верных десятичных знаков, с двойной точностью – 16.

Вычисление функций

Вычисление производных
Результат:

Вычисление производных
Функция: 1.63064739358604 Производная: 0.472791256128495
Результат:

Функции округления
round(number [, ndigits]) - округляет число number до ndigits знаков после запятой (по умолчанию, до нуля знаков, то есть, до ближайшего целого)
math.ceil(number) – округление до ближайшего большего числа
math.floor(number) - округление вниз
math.trunc(number) - усекает значение X до целого
round(x) - округляет x до ближайшего целого
ceil(x)
floor(x)
trunc(x) - возвращает: floor(x) для x >= 0 floor(-x) для x < 0

Примеры
округление происходит до ближайшего чётного (банковское округление)

Особенности машинной арифметики
В машинных вычислениях:
числа представлены с ограниченным числом разрядов
выполняется огромное число арифметических операций, что приводит к накоплению ошибок
промежуточные результаты обычно не отражаются.

Источники вычислительной погрешности
Представление чисел в 2-й системе (конечное 10-ое число может стать бесконечным.)
Результаты отдельных арифметических операций не подвергаются правильному округлению (для сокращения задержек из-за переноса единицы в старшие разряды).
Ограниченный диапазон чисел, представимых в разрядной сетке компьютера (проблема машинного нуля и переполнения).