Пересечение высот

Цели:
1) Рассмотреть теорему о точке пересечения высот и следствие из неё;
2) Формировать умения применять известные знания в незнакомой ситуации, сравнивать, анализировать, обобщать.
3) Воспитывать ответственное отношение к обучению, умение оценивать свой труд, а также аккуратность, точность и внимательность при работе с чертёжными инструментами.

Устно: Найти: РВKС , РАВС.
Решение:
ΔABK: DK-серединный перпендикуляр⇒BK=AK=5.
2) ΔBCK-египетский⇒CK=3.
3) CK=KD=3⇒DA=BD=4.
4) РВKС=3+4+5=12,
РАВС=4+8+8=20
Ответ: 12, 20.

Устно:
Дано: ΔABC, FK, FN - серединные перпендикуляры.
АВ = 16, СF = 10
Найти расстояние от точки F до стороны АВ.
Решение:
1) FK, FN серединные перпендикуляры⇒MC также серединный перпендикуляр, ⇒AM=BM=8
2) FC=10⇒FB=AF=10.
3) Δ MFA: FA=10, АM=8⇒MF=6.
Ответ: 6.

является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать»
Г.Галилей
– Сегодня мы продолжим изучение темы «Замечательные точки треугольника» и познакомимся с теоремой о точке пересечения высот в треугольнике.
«Геометрия

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Дано:
ΔABC, AA1⊥ BC, BB1⊥ AC,
CC1⊥ AB.
Доказать:
O= AA1∩ BB1 ∩ CC1.
Доказательство:
Проведём: С2B2║BC, A2C2║AC, A2B2║AB так, что B Є A2C2,
C Є A2B2, A Є B2C2. Получим Δ A2 B2 C2.
2) AB= A2C, AB= С2B2 , точки A, B и C– середины сторон Δ A2 B2 C2, т.е. прямые АА1, BB1, CC1-серединные перпендикуляры к сторонам Δ A2 B2 C2⇒ O= AA1∩ BB1 ∩ CC1.

1. Решить устно:
Дано:
Дуга АD – полуокружность.
Доказать: MN ⊥ АD.
Доказательство:
В Δ ABD:
Δ AND.
2) В Δ AСD: <С=90˚ ⇒ АС-высота
Δ AND.
3) M=AC∩BD ∩NK⇒NK- тоже является высотой Δ AND⇒ MN ⊥ АD.

№ 677.
Доказательство:
1) <АВО = 180° – <АВN = 180° – <СВN =
2) По теореме о биссектрисе угла точка О равноудалена от сторон АВ, ВС, АС. Поэтому, ОН1 = ОН2 = ОН3,
где ОН1 ⊥ АВ, ОН2 ⊥ ВС, ОН3 ⊥ АС.
3) Получили, что АВ, ВС, АС – касательные к окружности с центром в точке О и радиусом, равным ОН1.

№ 684
Доказательство:
По свойству углов при основании равнобедренного треугольника <САВ = <СВА. Тогда <МАС = <МАВ = <САВ = <СВА = <МВС = <МВА.
Δ МАВ – равнобедренный, АМ = ВМ и точка М лежит на серединном перпендикуляре к АВ.
Так как АС = СВ, то точка С также лежит на серединном перпендикуляре к АВ.
Поэтому СМ ⊥ АВ.