Арифметическая прогрессия

Содержание
Понятие арифметической прогрессии
Формула Формула n Формула n-го члена арифметической прогрессии
Сумма первых Сумма первых n Сумма первых n членов арифметической прогрессии
Тест

Понятие арифметической прогрессии

Определение.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая прогрессия, у которой
Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, … - это арифметическая прогрессия, у которой
Пример 3. 8, 8, 8, 8, 8, … - это арифметическая прогрессия, у которой

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями
,

Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d<0.
Для обозначения арифметической прогрессии используется знак .
запомни

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Рассмотрим арифметическую прогрессию
с разностью d.
и т.д.

Для любого номера справедливо равенство
Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Пример. Дана арифметическая прогрессия .
Известно, что . Найти .
Положим n=22, воспользуемся формулой , получим

Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии
в виде
Введем обозначения:
Получим
Подробнее

Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия, у которой .
Составим формулу n-го члена:

Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N натуральных чисел.
Угловой коэффициент этой линейной функции равен d – разности арифметической прогрессии.

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии

Пусть -
конечная арифметическая прогрессия
- сумма первых n членов арифметической прогрессии -
сумма членов прогрессии в порядке возрастания их номеров.
-
сумма членов прогрессии в порядке убывания их номеров.

Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получим
В каждой из скобок записана сумма, равная сумме .
Всего таких скобок n. Следовательно,

Формула суммы n членов арифметической прогрессии
запомни

Пример.
Дана конечная арифметическая прогрессия
Известно, что Найти , т.е. .
Решение. Имеем
Значит,

С формулой связан один из эпизодов биографии К.Гаусса. Однажды на уроке учитель, чтобы занять первоклассников пока он будет заниматься с учениками третьего класса, велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. и таких чисел будет 50. осталось умножить 101*50. Это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике.
Интересно!

Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией
а) 2; 4; 8; 16а) 2; 4; 8; 16 б) -7; -7; -7; -7 а) 2; 4; 8; 16 б) -7; -7; -7; -7 в) 1; 3; 9; 27
2. Какая из данных арифметических прогрессий является возрастающей?
а) 15; 12; 9; 6а) 15; 12; 9; 6 б) 3; 3; 3; 3 а) 15; 12; 9; 6 б) 3; 3; 3; 3 в) 5; 8; 11; 14
3. Найдите , если .
а) 5 а) 5 б) 13а) 5 б) 13 в) -21
4. Найдите , если .
а) 54а) 54 б) 27а) 54 б) 27 в)9
5.Известно, что . Найдите n.
а) 41а) 41 б) -23а) 41 б) -23 в) 23
6. Известно, что . Найдите d.
а) -3а) -3 б) 3а) -3 б) 3 в) 2