Четыре замечательные точки треугольника. 8 класс

?
6
Блиц-опрос. Через точку А проведены касательные АВ
(В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Найдите СD, если АВ=4 см,
АС=2 см.
4
2
4
2
АD = 8

А
С
В
Свойство медиан треугольника.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
В1
А1
О
СО
С1О
=
С1
1

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
В
А
Свойство биссектрисы
С

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
В
А
Обратно
С

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
В
А
Следствие
С
ОМ=ОК
По теореме
о биссектрисе угла
=
По обратной теореме т. О лежит на биссектрисе угла С
ОМ
ОL
2

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
Эта точка замечательная – точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.
Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а сам треугольник называют описанным около окружности

В
С
А
В любой треугольник можно вписать окружность.
Теорема

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему.
М
В
Определение
Прямая a – серединный перпендикуляр к отрезку.

Каждая точка серединного перпендикуляра
к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.
B
A
Теорема

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Обратная теорема

По теореме о
серединном перпендикуляре к отрезку
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
C
B
Следствие
A
ОA=ОB
ОB =ОC
=
По обратной теореме т. О лежит на сер. пер. к отрезку АС
ОA
ОC
3

Эта точка замечательная –
точка пересечения
серединных перпендикуляров
к сторонам треугольника
является центром описанной окружности.
Серединным перпендикуляром к отрезку
называется прямая, проходящая через
середину данного отрезка и
перпендикулярно к нему.

В
С
А
Около любого треугольника можно описать
окружность.
Теорема

Высоты треугольника
(или их продолжения) пересекаются в одной точке.
Теорема
C
B
A По теореме о серединных перпендикулярах: серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
4

Замечательные точки треугольника.

Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения медиан, находится в равновесии!
Точка, обладающая таким свойством, называется
центром тяжести треугольника.

А
В
С
К
М
Т
Высоты тупоугольного треугольника пересекаются
в точке О, которая лежит во внешней области треугольника.
Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С.
Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О, которая лежит во внутренней области треугольника.
А
В
С
Точка пересечения
высот называется
ортоцентр.