Основы теории вероятности и математической статистики. Лекция 4

Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта;
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Классическим примером несовместных событий является результат подбрасывания монеты – выпадение лицевой стороны монеты исключает выпадение обратной стороны (в одном и том же опыте);

Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта;
Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта. Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым.
Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара - событие А, появление зеленого - событие В, появление белого –С.
Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:
P(A)=3/10; P(B)=2/10; P(C)=5/10.

Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов.
Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.
Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна: W=2/5.

Вероятность произведения двух независимых событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого:
P(AB)=P(A)P(B).

Пример. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна P(A)= 0,9, для второго – P(B)=0,8. Определить вероятность того, что в цель попадёт хотя бы один стрелок.
Решение. q(A)= 1- 0,9= 0,1 (вероятность промаха первого стрелка); q(B)= 1-0,8= 0,2 (вероятность промаха второго стрелка); тогда вероятность одновременного промаха обоих стрелков определится следующим образом: q(AB)=0,1∙0,2=0,02. Событие противоположное этому событию заключается в поражении цели хотя бы одним стрелком. Следовательно, искомая вероятность P= 1 – 0,02 = 0,98.

Случайные величины.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.
Случайные величины можно разделить на две категории.
Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называется законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения может быть задан аналитически, в виде таблицы или графически.

Закон распределения для рассмотренного примера:

Функцией распределения называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х: F(x)=P(X
Для рассмотренного примера:
F(x0)=P(X
F(x1)=P(X
F(x2)=P(X
F(x3)=P(X
F(x4)=P(X
F(x5)=P(X
F(x)=P(X>x5)=p0+p1 +p2 +p3+p4+p5=1.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения f(x)=F’(x). Плотность распреде-ления также называют дифференциальной функцией.
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b.

Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Примеры дискретных распределений
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной ве-
личины X – числа появлений «успеха» в n независимых испытаниях (воз-
можные значения случайной величины X – 0,1,2,...,n), в каждом из которых
вероятность появления «успеха» равна p; вероятность возможного значения
X = k (числа k появлений «успеха») вычисляют по формуле Бернулли:

Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:
Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании:

Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом
испытании очень мала, то используют приближенную формулу
где k – число появлений события в n независимых испытаниях,  = np, и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности

Для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (α;β), вычисляется по формуле
Правило трёх сигм. Если случайная величина распределена нормально, то
абсолютная величина её отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения с вероятностью 0,9973.

Основные понятия математической статистики Генеральная совокупность – совокупность всех изучаемых объектов, N – её объём (количество всех объектов).
Выборочная совокупность – совокупность объектов, отобранных для изучения, n – объём выборки.
Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Таким образом, вместо большой совокупности объектов изучается совокупность объёма, значительно меньшего по количеству объектов (n << N).

Результаты, полученные при изучении выборки, распространяются на объекты всей генеральной совокупности. Для этого выборка должна быть
репрезентативной (представительной), то есть правильно представлять генеральную совокупность. Это обеспечивается случайностью отбора.
Виды отбора:
– простой случайный:
повторный; бесповторный;
– сложный случайный:
типический;
механический; серийный

Статистическое распределение выборки и его характеристики
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x1 наблюдалось n1 раз, x2 – n2 раз, xk – nk раз и n – объем выборки. Наблюдаемые значения xi называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом. Числа наблюдений называются частотами, а их отношения к объему выборки
Wi=ni/ n – относительными частотами. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот

Выборочное среднее:
Выборочная дисперсия:
σB – выборочное среднее квадратичное отклонение

Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту события X
Где nx – число вариант, меньших x; n – объем выборки.

Интервальная оценка (доверительный интервал) для генеральной средней Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами– концами интервала.
Доверительным интервалом для параметра Ɵ называется интервал ( Ɵ1, Ɵ2),
содержащий истинное значение Ɵ с заданной вероятностью P(Ɵ1< Ɵ< Ɵ2) =1-α.
γ = 1 – α называется доверительной вероятностью (надежностью), а
значение α – уровнем значимости.