Числовые последовательности

Цели урока:
Определение числовой последовательности
Способы задания
Стандартные упражнения

Рассмотрим функцию
График состоит из отдельных точек.
…

Последовательность квадратов натуральных чисел

Определение числовой последовательности

Понятие числовой последовательности
Числа, записанные в последовательности, называются членами последовательности.
Обычно их обозначают маленькими буквами, например, a1,a2,a3,...,an,..., где индекс 1,2,3,4,...,n,... после буквы a указывает на порядковый номер каждого члена последовательности.
an называется общим членом последовательности или n-ым членом, где n - порядковый номер члена последовательности.

Способы задания
Графический
Описательный
Табличный
Аналитический
Рекуррентный

0 1 2 3 4 5 дни
100
80
60
50
40
Графический

Описательный
Пример:
3; 7; 13; 19; 29; …
Это- простые числа (через одно)

Словесное задание числовой последовательности.
Правило составления последовательности описывается словами
Пример :
последовательность простых чисел
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
последовательность кубов натуральных чисел
1, 8, 27, 64, 125, …

Табличный

Аналитическое задание числовой последовательности.
Пример 1:
yn=n2
последовательность 1,4,9,16,…, n2,…

формула n- го члена
Примеры:
1) аn=2n+3 a1=2·1+3=5 a2=2·2+3=7 a3=2·3+3
2) an=100-10n2. Найдите первые три члена.
3) an=n2-2n-6. Является ли членом последовательности (-3)?
-3=n2-2n-6; n2-2n-3=0; n=3, n=-1 (не подходит)
Аналитический

Аналитическое задание числовой последовательности.

Аналитическое задание числовой последовательности.
Пример 3:
Задать последовательность формулой n-го члена:
а) 2, 4, 6, 8, … б) 4, 8, 12, 16, 20, …

Последовательности

Угадайте закономерность

Способы задания последовательности
Рекуррентное задание числовой последовательности.
Указывается правило позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.
При вычислении членов последовательности по этому правилу мы все время возвращаемся назад, выясняем чему равны предыдущие члены, поэтому такой способ называют рекуррентным ( от латинского recurrere – возвращаться)

Способы задания последовательности
Рекуррентное задание числовой последовательности.
Пример 1:
y1=3, yn= yn-1 + 4, если n = 2, 3, 4, …
Каждый член последовательности получается из предыдущего прибавлением к нему числа 4
y1 = 3 y2 = y1 + 4= 3 + 4 = 7
y3= y2+ 4= 7 + 4 = 11 y4 = y3 + 4= 11 + 4 = 15 и т.д.
Получаем последовательность
3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, …

Следующий определяется через предыдущий
Пример:
Дана последовательность:
а1=1, а2=3, аn+2=2аn+аn+1
а3=2а1+а2=2.1+3=5
а4=2а2+а3=2.3+5=11
а5=2а3+а4=2.5+11=21 …
Рекуррентный

Рекуррентное задание числовой последовательности.
Пример 2:
y1=1, y2=1, yn= yn-2 + yn-1
Каждый член последовательности равен сумме двух предыдущих членов
y1=1 y2=1 y3= y1 + y2 = 1 + 1 = 2
y4 = y2 + y3= 1 + 2 = 3 y5 = y3 + y4 = 2 + 3 = 5 и т.д.
Получаем последовательность
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Рекуррентное задание числовой последовательности.
Выделяют 2 особенно важные рекуррентно заданные последовательности:
1) Арифметическая прогрессия
у1 = а, уn = уn-1 + d, а и d – числа, n = 2, 3, …
2) Геометрическая прогрессия
у1 = b, уn = уn-1 · q, b и q – числа, n = 2, 3, …

Монотонные последовательности
Последовательность (уn ) – возрастающая, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего, т.е. у1 < у2 < у3 < у4 < … < уn < …
Пример:
2, 4, 6, 8, 10, …
Если а > 1, то последовательность уn = аn – возрастает.
Последовательность (уn ) – убывающая, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего, т.е. у1 > у2 > у3 > у4 > … > уn > …
Пример:
-1, -3, -5, -7, -9, …
Если 0 < а < 1, то последовательность уn = аn – убывает.

Монотонные последовательности
Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.
Последовательности, которые не возрастают и не убывают, являются немонотонными.