Начала комбинаторики. Перестановки

2. Перестановки
ПЕРЕСТАНОВКИ – это соединения, составленные из одних и тех же элементов, и отличающиеся только порядком их расположения.
Pn ОБОЗНАЧЕНИЕ
Буква P читается как перестановка,
индекс n - количество её элементов.
!

2. Перестановки. Считаем перестановки «вручную»
Все перестановки из ДВУХ элементов легко изобразить, а их количество легко посчитать.
В общем случае подсчёт идёт по схеме:
ФОРМУЛА
P2 = 2

2. Перестановки. Считаем перестановки «вручную»
Все перестановки из ТРЁХ элементов изобразить легко, но их количество посчитать сложнее.
ФОРМУЛА
P3 = 6

2. Перестановки. Считаем перестановки «вручную»
Сколько есть способов разложить 3 цветных карандаша в ряд?
Ответ: Р3=6

2. Перестановки. Считаем перестановки «вручную»
1
Для каждого из ЧЕТЫРЕХ элементов можно образовать перестановки из оставшихся трех элементов
P3 6
Число перестановок из ЧЕТЫРЕХ элементов
Число перестановок из ЧЕТЫРЕХ элементов

2. . Перестановки. Считаем перестановки «вручную»
Число перестановок из ПЯТИ элементов

P6
P5
P4
P3
P2
P1
2. Перестановки. Выводим формулу перестановок
Вспомним и продолжим:
И так далее…
P0=?
P0=1

2. Перестановки. Выводим формулу перестановок
Обобщим:
Покажем:

2. Перестановки. Выводим формулу (Факториал)

Потому, что Р0=1
2. Перестановки
ПЕРЕСТАНОВКИ – это соединения, составленные из одних и тех же элементов, и отличающиеся только порядком их расположения.
n! 1 2 . . . (n-1) n Pn
Формула перестановок
Pn (n-1)!
Буква P читается как перестановка,
индекс n- количество её элементов.
!
n
К сведению:
Почему 0!=1?
Подумаем:

ЗАДАЧИ. ПЕРЕСТАНОВКИ
Сколько вариантов очередности обслуживания 4 человек имеется у официанта?
Ответ: Р4=4!=24

ЗАДАЧИ. ПЕРЕСТАНОВКИ
Сколькими способами можно
Окрасить в разные цвета 6 граней куба, если имеются шесть красок различных цветов и все грани должны быть разного цвета?
Ответ: Р6=6!=720

Задачи. Перестановки. Формула
Для каждого числа перестановок
Перечислите три его первых множителя

Задачи. Перестановки. Формула
Для каждого числа перестановок
Выразите его через n!

Задания для самостоятельного выполнения

ЗАДАЧИ. ПЕРЕСТАНОВКИ
Сколькими способами можно
Разложить 5 различных ключей по пяти карманам, если в каждый карман кладется только один ключ?

ЗАДАЧИ. ПЕРЕСТАНОВКИ
Пирамида составлена из 6 кубиков разных цветов. Сколько всего пирамид разных по расцветке можно составить?

Задачи. Перестановки. Общий множитель
1
Pn
1)
+
1
Pn+1
1
Pn
+
1
2)
Pn-1
3)
1
Pn
-
1
Pn+1
4) 1
Pn-1
-
1
Pn

Задачи. Перестановки. Общий множитель
+
+
-
-
Задача дополнительная