Трёхгранный угол

2) теорема о соотношении сторон и углов треугольника:
напротив большей стороны лежит больший угол
Q
L
R
RQ > RL > QL
∠L > ∠Q > ∠R

3) свойство равнобедренного треугольника:
в равнобедренном треугольнике высота, проведённая
к основанию, является медианной и высотой
P
L
S
∆PSL — равнобедренный
ST — биссектриса ⇒
ST — высота и медиана
т.е. PT = TL, ST ⏊ PL
T

4) первый признак равенства треугольников:
если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
B
A
C
∠А = ∠М
AB = MN
AC = MP
∆ABC = ∆MNP
M
N
P

Определение
Трёхгранный угол – это часть пространства, ограниченная тремя углами с общей вершиной, не лежащих в одной плоскости и имеющими попарно общие стороны
O
E
G
∠OEFG — трёхгранный угол
О — вершина трёхгранного угла
OE, OF, OG — рёбра
∠EOF, ∠EOG, ∠GOF — плоские углы (грани трёхгранного угла)
углы GOEF, EOFG, EOGF — двугранные углы
F

Свойство
Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов
Дано:
Доказать:
∠EOF < ∠EOG + ∠GOF
OEFG — трёхгранный угол
O
E
G
F
Доказательство:
I. Если EOF = EOG ⇒
∠EOF ≥ ∠EOG ≥ ∠GOF
∠EOF < ∠EOG + ∠GOF ⇒
∠EOF < ∠EOF + ∠GOF
II. Если EOF > EOG ⇒
1) Построим S ∈ EF, где ∠EOG = ∠EOS
S
и ∠ EOG < ∠ EOF
⇒ S находиться между E и F
2) R ∈ OG, где OS = OR ⇒ ⇒ ∠EOR = ∠EOS
R
(OE – общая, OS = OR — по построению, ∠EOG = ∠EOS) ⇒
⇒ ES = ER
3) EF < ER + RF,
где EF = ES + SF и ES = ER
⇒ SF < RF
4) ON — биссектриса ∠SOR
∆OSR — равнобедренный
O
N
F
S
R
OS = OR ⇒ ON — медиана и высота
SN = NR, ON ⏊ SR
⇒ ON ∩ ER
∠ROF = ∠RON + ∠NOF ⇒ ∠SOF < ∠ROF
∠EOF = ∠EOS + ∠SOF = ∠EOG + ∠SOF < ∠EOR + + ∠ROF = ∠EOG + ∠GOF
Что и требовалось доказать