Дискретные случайные величины

Необходимо уметь:
Строить закон распределения с.в. по условиям задачи
(представлять его в виде ряда и многоугольника распределения).
Строить функцию распределения вероятностей с.в.
зная закон распределения и наоборот.
Вычислять числовые характеристики с.в.
зная закон распределения.
Вычислять вероятность попадания с.в. в интервал
зная закон распределения.
Для построения закона распределения необходимо правильно определить какие значения может принимать с.в. и вычислить вероятности всех этих значений.

Задачи
6.8.1,6.8.8. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из нее последовательно извлекаются шары до первого появления белого шара. Построить ряд и многоугольник распределения с.в. - числа извлеченных шаров. Найти функцию распределения и числовые характеристики.
Решение. Определим, какие значения может принимать с.в. . Минимальное значение , т.к. по крайней мере 1 шар
необходимо извлечь. Максимальное значение т.к. четвертый шар точно будет белым. Вычислим вероятности:
Для проверки:
Запишем ряд распределения:

Для получения многоугольника распределения, представим данные таблицы графически.
Функция распределения

Числовые характеристики:
Момент k-го порядка:
Центральный момент k-го порядка:
Мода распределения:

Вероятность попадания в интервал:
Смотрим, какие значения попадают в интервал и складываем соответствующие вероятности.

6.8.4,6.8.25. Три стрелка, ведущие огонь по цели, сделали по одному выстрелу. Вероятности их попадания в цель соответственно равны 0.5, 0.6, 0.8. Построить ряд и функцию распределения с.в.
числа попаданий в цель. Найти числовые характеристики.
Решение. Минимальное значение , т.к. в цель может не попасть никто. Максимальное значение если в цель попадут все трое. Вычислим вероятности:
- никто не попал
- попал только один
- попали только двое
- все попали
Запишем ряд распределения:

Функция распределения
Числовые характеристики:
Вероятность попадания в интервал:

6.8.10 б). Задана функция распределения с.в. Найти ряд распределения.
Решение. Значениями с.в. будут концы интервалов значений
Т.е.

6.8.5. Вероятность того, что автомат при опускании одной монеты срабатывает правильно, равна 0.98. Построить ряд распределения с.в.
числа опусканий монет в автомат до первого правильного срабатывания автомата. Найти вероятность того, что будет опущено 5 монет. Решить те же задачу при условии, что в наличии всего 3 монеты.
Решение. Заметим, что в первом варианте задачи количество монет не ограничено, т.е. с.в. может принимать сколь угодно большое целое значение. Минимальное же ее значение равно 1.
- вероятность, что будет опущено 5 монет
С.в. имеет геометрическое распределение с законом

Если в наличии всего 3 монеты, то максимальное значение с.в.
- т.к. при опускании 3 монеты автомат может сработать или нет, но опыт все равно закончится.

6.8.19. Подброшены 2 игральные кости. Построить ряд распределения: а) суммы выпавших очков; б) разности выпавших очков.
Решение. а) Сумма выпавших очков принимает значения от 2 до 12
б) Разность выпавших очков принимает значения от 0 до 5