Математика. Управление социальными системами .Тема 1. Векторная алгебра

Для создания трехмерной анимации требуется не только разбираться в программном обеспечении, но и быть знатоком физики с математикой. Только обладая совокупностью этих познаний, можно создать
реалистический виртуальный мир.
Представьте себе локоть. Когда он гнется, рука, предплечье, запястье двигаются , а мышцы сжимаются и разжимаются – и все это можно описать при помощи математики.
При работе над трехмерной анимацией или графикой компьютерной игры тригонометрия помогает задать
вращение и движение, алгебра используется при создании спецэффектов, а интегральное исчисление помогает создать реалистичное освещение.
Стив Джобс.

Декартовы прямоугольные координаты на плоскости

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
Длиной (или модулем) вектора называется длина отрезка АВ.
Существует нуль- вектор:
Два вектора называются равными:
если 1) они коллинеарные, т.е. лежат на параллельных прямых;
2) направлены в одну сторону (сонаправленые);
3) имеют одинаковые длины.

ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
Линейные операции над векторами

Направляющие косинусы

Операции над векторами, заданными своими координатами
Пример.

Разложение вектора по ортам
Орты – единичные векторы осей Ox, Oy, Oz.
Тогда

Скалярное произведение

Свойства скалярного произведения
1.
2.
3.
4.
угол между двумя векторами

Коллинеарность и перпендикулярность векторов
Векторы коллинеарные тогда и только тогда, когда координаты пропорциональны:
Векторы перпендикулярные тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Пример скалярного произведения:

Пример
Даны векторы :
Найти:

Решение
По определению
Найдем длины векторов и . По формуле найдем
Скалярный квадрат равен квадрату модуля вектора, т.е.

Скалярное произведение
Угол между векторами определяется равенством:
Откуда

Разложение вектора
Задача: разложить вектор по векторам
и .
Решение. Найдем числа α и β,
удовлетворяющие равенству
или
Для примера: .
Перейдем от векторного к покоординатному равенству:
Для примера
получим систему:
Из системы находим коэффициенты α и β:
Тогда

Матрицы второго и третьего порядка
Квадратной матрицей второго порядка называется таблица чисел:
содержащая две строки и два столбца.
Числа a11,a22 образуют главную диагональ матрицы A; числа a12,a21 − побочную (второстепенную) диагональ матрицы.
Квадратной матрицей третьего порядка называется таблица чисел:
содержащая три строки и три столбца.
Числа a11,a22,a33 образуют главную диагональ матрицы; числа a13,a22,a31 − побочную (второстепенную) диагональ матрицы.

Определитель второго порядка

Определитель третьего порядка
Определителем квадратной матрицы А третьего порядка или− определителем третьего порядка) называется число, обозначаемое:
(или |A|)
и вычисляемое по формуле:
которая называется формулой разложения определителя по элементам первой строки.

Определитель третьего порядка.
Пример 1.
Вычислить определитель:
Решение:

Разложения определителя по элементам любой строки (столбца) матрицы

Разложение определителя третьего порядка по элементам второй строки
Например, выбрав для разложения вторую строку определителя, получим формулу разложения определителя третьего порядка по элементам второй строки:
Пример.

Правило треугольников вычисления определителя третьего порядка
Для вычисления определителя третьего порядка можно воспользоваться правилом треугольников:
где выделенные элементы нужно перемножить.

Пример правила треугольников вычисления определителя третьего порядка
Вычислить определитель:
Решение.

Ориентация тройки векторов
Три некомпланарных вектора образуют правую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден против часовой.
Ориентация тройки векторов
перестановке этих векторов.
Три некомпланарных вектора образуют левую тройку, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден по часовой стрелке.
не меняется при циклической

Векторное произведение двух векторов
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий условиям:
длина вектора равна
где угол между векторов и .
вектор ортогонален векторам и .
векторы образуют правую тройку.
Векторное произведение вектора на вектор
обозначается или .

Основные свойства векторного произведения
Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные.
Длина вектора числено равна площади параллелограмма, сторонами которого служат векторы и .
.

Законы векторного произведения
.

Выражение векторного произведение через прямоугольные координаты
Пусть Oxyz - прямоугольная система координат, орты координатных осей этой системы.
.

Пример применения в геометрии векторного произведения
.

Смешанное произведение трех векторов
Смешанным произведением трех векторов , и
называется число, обозначаемое , равное скалярному произведению векторов и .
Свойства смешанного произведения
1.
2. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов:
3.
4.
Возможные обозначения:
.

Компланарные векторы
Три вектора называются компланарными , если они лежат на одной плоскости или на параллельных плоскостях.
В противном случае векторы
называются некомпланарными .
Если хотя бы один
из векторов
нулевой, то эти векторы
компланарны.

Свойства смешанного произведения
5. Смешанное произведение векторов , и
равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.
6. Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов численно равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах
.

Выражение смешанного произведения через координаты векторов
.