Подготовка к ЕГЭ 2020

ЕГЭ-01. Двоичное кодирование,
системы счисления
Ответ: 7
Сколько единиц в двоичной записи восьмеричного числа 65438?
65438 → 8=23 → правило триад
110 101 100 0112 → 7 «1»

ЕГЭ-01. Двоичное кодирование,
системы счисления
Пояснение:
Переведём числа 9E16 и 9416
в десятичную систему счисления:
9E16 = 9*161 + 14*160 = 144 + 14 = 15810
9416 = 9*161 + 4*160 = 144 + 4 = 14810
Найдём разность: 158 − 148 = 10.
Ответ: 10
2019. Вычислите значение выражения 9E16 − 9416.
В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15

ЕГЭ-01. Двоичное кодирование,
системы счисления
2020. Сколько существует натуральных чисел x, для которых выполняется неравенство 100110112 < x < 100111112? В ответе укажите только количество чисел, сами числа писать не нужно.

ЕГЭ-16. Позиционные системы счисления
25 = 100000
27 = 10000000
210 = 10000000000
25-1 = 11111
27-1 = 1111111
210-1 = 1111111111

ЕГЭ-16. Позиционные системы счисления
26 - 24 = 1000000 – 10000 = 110000
27 - 23 = 10000000 – 1000 = 1111000
210 - 25 = 10000000000 – 100000 = 1111100000
число 3N записывается в троичной системе
как единица и N нулей:
число 3N – 3M = 3M · (3N-M – 1) записывается в троичной системе как N-M двоек, за которыми стоят M нулей:

ЕГЭ-16. Позиционные системы счисления
число aN в системе счисления с основанием a записывается как единица и N нулей:
число aN-1 в системе счисления с основанием a записывается как N старших цифр этой системы счисления, то есть, цифр
(a-1):
число aN – aM = aM · (aN-M – 1) записывается в системе счисления с основанием a как N-M старших цифр этой системы счисления, за которыми стоят M нулей:
ДЛЯ ЛЮБОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ:

ЕГЭ-16. Позиционные системы счисления
Ответ: 17
В системе счисления с основанием N запись числа 87 оканчивается на 2 и содержит не более двух цифр. Чему равно число N? Если у задачи есть несколько решений, выберите наименьшее.
Если в числе есть цифра 8, то основание системы счисления не меньше 9.
Если двухзначное число в системе счисления по основанию N оканчивается на 2, то оно равно k*N + 2, где k=1,2,...N-1
87=k*n+2 ⇒ k*n=85
Разложим 85 на множители:
85=5×17, N≥9 ⇒
N=17, k=5
Проверка:
5217 = 5*171 + 2*170 = 5*17 + 2*1 = 85+2 = 87

ЕГЭ-16. Позиционные системы счисления
Ответ: 2013
Сколько единиц в двоичной записи числа 42014 + 22015 – 8
Приведём все слагаемые к виду 2N и расставим в порядке убывания степеней:
42014 + 22015 – 8 = 22*2014 + 22015 – 23 = 24028 + 22015 – 23
Первое слагаемое, 24028, даёт в двоичной записи одну единицу и 4028 нулей.
Вспомним, что число 2N – 2M записывается в двоичной системе как N-M единиц, за которыми стоят M нулей.
Пара 22015 – 23 даёт 2015 – 3 = 2012 единиц
Суммарное количество единиц = 1 + 2012 = 2013

ЕГЭ-16. Позиционные системы счисления
Ответ: 13
Значение арифметического выражения: 3617 + 615 – 9 записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр «5» в этой записи?
Приведём все слагаемые к виду 6N и расставим в порядке убывания степеней:
3617 + 615 – 9 = 62*17 + 615 – 9 = 634 + 615 – 9
Первое слагаемое, 634, даёт одну единицу и 34 нуля.
Второе слагаемое, 615, даёт одну единицу и 15 нулей.
Переведём число 9 в шестеричную систему: 910 = 136
Выполним вычитание последнего числа из предпоследнего:

ЕГЭ-16. Позиционные системы счисления
2019. Значение арифметического выражения 97 + 321 – 9 записали в системе счисления с основанием 3. Сколько «2» содержится в этой записи?
РЕШЕНИЕ:
Приведём все слагаемые к виду 3N и расставим в порядке убывания степеней:
97 + 321 – 9 = 32⋅7 + 321 – 32 = 321 + 314 – 32
Первое слагаемое, 321, даёт в троичной записи одну единицу – она нас не интересует.
Вспомним, что число 3N – 3M записывается в троичной системе как N-M двоек, за которыми стоят M нулей.
Пара 314 – 32 даёт 14 – 2 = 12 двоек
ОТВЕТ: 12