Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Примеры комбинаторных задач
В науке и на практике часто встречаются задачи, приходится составлять различные комбинации. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать».
Рассмотрим некоторые примеры комбинаторных задач.

Пример 1. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Фёдоров, тренер выделяет двоих для участия в соревнованиях пар. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
Решение. Составим сначала все пары, в которые входит Антонов. Получим три пары: АГ, АС, АФ. Затем пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ. Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара одна: CA. Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Фёдоров уже составлены.
Итак, мы получили шесть пар.
Ответ: 6 пар.
Такой способ решения называют перебором возможных вариантов.

Пример 2. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Решение. Для решения этой задачи составим схему.
Такую схему называют деревом возможных событий.
Итак, мы получили 24 числа.
Ответ: 24 числа.

Перестановки
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке.
Число перестановок из n элементов обозначают символом Pn (читают «P из n») и вычисляют по формуле Pn=n!

Пример. Сколькими способами можно расставить 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение. Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле находим, что
P8=1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8=40320
Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.
Ответ: 40320 способов.

Размещения

Пример. Учащиеся 2 класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 4 различных предмета?

Сочетания