Системы линейных уравнений

2. Системы линейных уравнений

Понятие СЛУ
Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:
В кратком виде такую систему записывают

Виды СЛУ
СЛУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если решений нет, то несовместной.
Совместная СЛУ называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, ели решений более одного.
Две СЛУ называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Если все правые части в СЛУ равны 0, то система называется однородной. Иначе – неоднородной.

СЛУ в матричной форме
Матрицей системы называется матрица коэффициентов при переменных:

СЛУ в матричной форме
Матрица-столбец неизвестных:
Матрица-столбец свободных членов (правых частей):
Тогда СЛУ можно записать в виде: AX = B.

Метод обратной матрицы
Пусть в СЛУ AX = B матрица A квадратная и невырожденная. Тогда для матрицы A существует обратная матрица A-1.
Умножим слева обе части матричного уравнения на A-1. Получим: A-1AX = A-1B.
Отсюда: X = A-1B.

Метод расширенной матрицы
Составим расширенную матрицу системы (A|B). Элементарными преобразованиями строк расширенной матрицы приведем матрицу A к единичной. Тогда матрица B обратится в A-1B.
Расширенная матрица примет вид (E|A-1B).
После чего можем использовать X = A-1B.

Метод Крамера
Теорема Крамера: Пусть матрица СЛУ квадратная и невырожденная. Пусть |Ai| – определитель матрицы, получаемой из матрицы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов B. Тогда система имеет единственное решение:

Элементарные преобразования в СЛУ
Теорема (о равносильности СЛУ): При любых элементарных преобразованиях строк расширенной матрицы СЛУ (кроме транспонирования) получаются равносильные СЛУ.
На этой идее основан метод Гаусса, заключающийся в последовательном исключении неизвестных с помощью элементарных преобразований.

Метод Гаусса
Построим для СЛУ расширенную матрицу.
С помощью элементарных преобразований приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду.
Если в матрице A образовалась нулевая строка при том, что в столбце правых частей в этой строке не ноль, то СЛУ несовместна.
Если матрица A привелась к треугольному виду, то СЛУ имеет единственное решение.
Если в ступенчатой матрице число неизвестных больше числа уравнений, то СЛУ имеет бесконечное множество решений.

Совместность СЛУ
Теорема Кронекера-Капелли (о совместности СЛУ): СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Базисные переменные
Пусть ранг r расширенной матрицы СЛУ меньше числа переменных. В этом случае СЛУ имеет бесконечное множество решений.
Выберем r переменных и составим матрицу системы из коэффициентов только при этих переменных.
Данная матрица будет квадратной или может быть приведена к квадратной элементарными преобразованиями.

Базисные решения
Если эта матрица невырождена, то выбранные переменные называются основными или базисными.
Оставшиеся переменные называются неосновными или свободными.
Решение СЛУ, в котором все свободные переменные полагаются равными нулю, называется базисным.
Замечание: Выбор базисных переменных неоднозначен.

Однородные СЛУ
Однородная СЛУ всегда совместна (как минимум, имеется нулевое решение).
Для существования ненулевых решений ранг матрицы системы должен быть меньше числа переменных.
Если e – решение однородной СЛУ, то и λe тоже будет решением.
Если e1 и e2 – решения однородной СЛУ, то и e1 + e2 тоже будет решением.

Фундаментальные решения
Совокупность линейно независимых решений однородной СЛУ называется фундаментальной, если любое возможное решение этой СЛУ является линейной комбинацией этих решений.
Теорема ( о фундаментальных решениях однородной системы): Если ранг r матрицы СЛУ меньше числа переменных n, то:
Существует совокупность линейно независимых решений СЛУ.
Число линейно независимых решений равно n – r.
Любое решение СЛУ можно представить в виде линейной комбинации фундаментального набора решений.