Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

Интегрирование тригон. функций
Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются рациональные действия принято обозначать
сводится к вычислению интегралов от рациональной функции с помощью подстановки, которую называют универсальной:
Знак рациональной функции
Вычисление интегралов типа:
Универсальная тригонометрическая подстановка

Интегрирование тригонометрических функций
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от вида подынтегральной функции
то применяется подстановка cos x = t.
Если функция нечетна относительно sin x, то есть:
Если функция нечетна относительно cos x, то есть:
то применяется подстановка sin x = t.
Если функция четна относительно cos x и sin x, то есть:
тогда:

Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций
Используются следующие подстановки:
Если n – целое положительное нечетное число: sin x = t
Если m – целое положительное нечетное число: cos x = t
Если m и n - целые неотрицательные четные числа, то применяются формулы понижения степени:
Если m + n - отрицательное четное целое число, то применяется подстановка: tg x = t
В этих двух случаях можно также произвести «отщепление» одной из нечетных степеней с последующим внесением под знак дифференциала.
Интегралы типа:

Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы типа:
Вычисляются с помощью формул тригонометрии:

Интегрирование иррациональных функций
Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций, которые с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций новой переменной.
Интегралы вида:
Интегралы вида:
где a, b, c, d – постоянные, приводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки:
где N – наименьшее общее кратное m и n.

Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций
1)
подстановка:
Иррациональные функции вида:
выделением полного квадрата сводятся к 3-м видам функций, для каждой, из которой применяется свой вид подстановки:
2)
подстановка:
3)
подстановка:

Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных функций
1)
получается интеграл, рассмотренный в первом пункте.
Интегралы вида:
Сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях;:
2)
подстановка:
3)
подстановка:
Знаменатель дроби p
Знаменатель дроби p