Коллинеарные и компланарные векторы. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Содержание
I. Понятие вектора в пространстве
II. Коллинеарные векторы
III. Компланарные векторы
IV. Разложение вектора
Выход

Признак коллинеарности
Доказательство

Доказательство признака коллинеарности

Определение компланарных векторов
Компланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости.
Пример:
B
А
C
D
A1
B1
C1
D1

О компланарных векторах
Любые два вектора всегда компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны.
α
если

Признак компланарности
Доказательство
Задачи

Задачи на компланарность
Компланарны ли векторы:
а)
б)
Справка Решение
Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы:
а)
б)
Справка Решение

Решение

Решение

Решение

Доказательство признака компланарности
С
O
A1
B1
B
A

Свойство компланарных
векторов

Скалярное произведение
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Справедливые утверждения
Вычисление скалярного произведения в координатах
Свойства скалярного произведения

Справедливые утверждения
скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны
скалярный квадрат вектора (т.е. скалярное произведение вектора на себя) равен квадрату
его длины

Вычисление скалярного произведения в координатах
Доказательство

Доказательство формулы скалярного произведения
O
A
B
α
O
B
A
O
B
A

Доказательство формулы скалярного произведения

Свойства скалярного
произведения
10.
20.
30.
40.
(переместительный закон)
(распределительный закон)
(сочетательный закон)

Разложение вектора
По двум неколлинеарным векторам
По трем некомпланарным векторам

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Теорема.
Любой вектор можно разложить по двум
данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство

Доказательство теоремы
O
A
A1
B
P
Пусть коллинеарен .
Тогда , где y – некоторое число. Следовательно,
т.е. разложен по векторам и .

не коллинеарен ни вектору , ни вектору .
Отметим О – произвольную точку.
Доказательство теоремы

Доказательство теоремы
Докажем, что коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Допустим:
Тогда:
-

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам
Если вектор p представлен в виде
где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор
разложен по векторам , и .
Числа x, y, z называются коэффициентами разложения.
Теорема
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Доказательство

Доказательство теоремы
С
O
A
B
P1
P2
P