Правильные многогранники

Из истории
Одно из древнейших упоминаний о правильных многогранниках находится в трактате Платона (427-347 до н. э.) "Тимаус". Поэтому правильные многогранники также называются платоновыми телами. Каждый из правильных многогранников, а всего их пять, Платон ассоциировал с четырьмя "земными" элементами: земля (куб), вода (икосаэдр), огонь (тетраэдр), воздух (октаэдр), а также с "неземным" элементом - небом (додекаэдр).

Из истории
Знаменитый математик и астроном Кеплер построил модель Солнечной системы как ряд последовательно вписанных и описанных правильных многогранников и сфер.

Другое определение:
правильным многогранником называется такой выпуклый многогранник, все грани которого являются одинаковыми правильными многоугольниками и все двугранные углы попарно равны.

Многогранник называется правильным, если:
он выпуклый
все его грани являются равными правильными многоугольниками
в каждой его вершине сходится одинаковое число граней
все его двугранные углы равны

Букет Платона

ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА –правильные выпуклые многогранники.

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК-
выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Эйлерова характеристика
Для любого выпуклого многогранника
V-E+F=2
V - число вершин
E - число ребер
F - число граней

Леонард Эйлер
(1707 – 1783 гг.)
немецкий математик и физик

ТЕТРАЭДР
Тетраэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.
Поверхность тетраэдра состоит из четырех равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по три.

КУБ (ГЕКСАЭДР)
Куб или гексаэдр – представитель платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.
Куб имеет шесть квадратных граней, сходящихся в каждой вершине по три.

ОКТАЭДР
Октаэдр – представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников.
Октаэдр имеет восемь треугольных граней, сходящихся в каждой вершине по четыре.

ДОДЕКАЭДР
Додекаэдр – представитель
семейства платоновых тел.
Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три.
Этот многогранник
замечателен своими тремя
звездчатыми формами.

ИКОСАЭДР
Икосаэдр – представитель платоновых тел.
Поверхность икосаэдра состоит из двадцати равносторонних треугольников, сходящихся в каждой вершине по пять.
Икосаэдр имеет одну звездчатую форму.

Использование формы правильных многогранников
ПРИРОДА
ЧЕЛОВЕК
ВИРУСЫ
АРХИТЕКТУРА
УПАКОВКИ
БЫТОВЫЕ ПРЕДМЕТЫ
КРИСТАЛЛЫ
ГОЛОВОЛОМКИ

Платон
428 (427) – 348 (347) гг. до нашей эры
Древнегреческий философ-идеалист.
В учении Платона правильные многогранники играли важную роль.
Тетраэдр символизировал огонь, куб – землю, октаэдр – воздух, икосаэдр – воду, а додекаэдр – Вселенную.

Почему правильные многогранники получили такие имена?
Это связано с числом их граней.
тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань.
гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть;
октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь;
додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать;
икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

Элементы симметрии:
Тетраэдр не имеет центра симметрии, но имеет 3 оси симметрии и
6 плоскостей симметрии.

Элементы симметрии:
Куб имеет центр симметрии - центр куба, 9 (? – уточните!) осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Элементы симметрии:
Октаэдр имеет центр симметрии - центр октаэдра, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Элементы симметрии:
Икосаэдр имеет центр симметрии - центр икосаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.

Элементы симметрии:
Додекаэдр имеет центр симметрии - центр додекаэдра, 15 осей симметрии и 15 плоскостей симметрии.