Соответствия и функции

Соответствия и функции
Соответствием множеств А и В называется подмножество G такое, что
Если то говорят, что “b соответствует a при соответствии G”.
Область определения соответствия G – множество пр1
Область значений соответствия G – множество пр2

Соответствие G называется всюду (полностью) определенным – если пр1 G = А (в противном случае – частично определенное соответствие).
Соответствие G называется сюрьективным, если пр2 G = B.

Образ элемента a в множестве B при соответствии G – это множество всех элементов которые соответствуют
Прообраз элемента b в множестве А при соответствии G – это множество всех , которым соответствует .
Образом множества пр1 G называется объединение образов всех элементов С.

Прообразом множества пр2 G называется объединение прообразов всех элементов D.
Соответствие G называется функциональным (однозначным) соответствием, если образом любого элемента из пр1 G является единственный элемент из пр2 G.

Соответствие G называется инъективным соответствием, если прообразом любого элемента из пр2 G является единственный элемент из пр1 G.
Соответствие F является функцией типа
, если оно функционально (однозначно)

Соответствие G является отображением множества А в множество В, если оно функционально и полностью определено.
Соответствие G является взаимно однозначным, если оно: 1) всюду определено; 2) сюрьективно; 3) функционально; 4) инъективно.

Преобразованием множества А называется отображение типа
Функция типа называется n-местной функцией
Соответствие называется обратным к , если Н таково, что

Если соответствие, обратное к функции
является функциональным, то оно называется функцией, обратной к f,
Пусть дана функция Соответствие является функцией тогда и только тогда, когда f инъективна, и является отображением тогда и только тогда, когда f инъективна и сюрьективна (т.е. биективна).

Утверждение: Для функции существует обратная функция тогда и только тогда, когда является взаимнооднозначным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пусть даны функции и
Функция называется композицией функций f и g, если (обозначение ). Часто говорят, что h получена подстановкой f в g.

Для многоместных функций
и возможны различные варианты подстановки f в g, задающие функции различных типов. Например, при
и функция имеет 6 аргументов и.

Для множества многоместных функций типа возможны любые подстановки функций друг в друга, а также любые переименования аргументов.
Например, переименование в из функции четырёх аргументов порождает функцию трёх аргументов:

Функция, полученная из функций некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией функций .
Выражение, задающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки, скобки и символы аргументов, называется формулой.

Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств
Утверждение (о взаимно однозначном соответствии равномощных множеств): Если между конечными множествами А и В существует взаимно однозначное соответствие, то .