Дифференцирование функции

Геометрический смысл производной
Значение производной f '(x0) равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой
y = f '(x) в точке M0(x0, f(x0)): f '(x0) = kкас.
Уравнение касательной, проходящим через точку M0, имеет вид: y − y0 = f '(x0) (x − x0).
Нормаль – прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Тогда kнорм = − 1/kкас.
Уравнение нормали: y − y0 = (− 1/f '(x0))·(x − x0).

Пример. Составить уравнения нормали к линии
y = x3+ 3x2 − 5, параллельной прямой 2х − 6у + 1 = 0.

§5. Исследование функции
Проводится по следующей схеме
1. Область определения функции D(f).
Множество значений функции E(f).
2. Четность, нечетность, периодичность
f(х) – четная ⇔ ∀х, (−х)∈D(f) f(− х) = f(х)
(график симметричен относительно оси Оу)
f(х) – нечетная ⇔ ∀х, (−х)∈D(f) f(− х) = − f(х)
(график симметричен относительно начала координат)
Если ни одно условие не выполняется, то
f(х) – функция общего вида.

f(х) – периодическая с периодом Т ⇔
∀х, (х−Т), (х+Т) ∈D(f) f(х) = f(х−Т) = f(х+Т)
(определяется только для тригонометрических функций)
3. Точки пересечения графика с осями координат
Пересечение с Оу существует, если х = 0 ∈D(f), точка пересечения (0, f(0))
(график пересекает Оу не более чем в одной точке).
Пересечение с Ох определяется в результате решения уравнения: f(х) = 0.

По результатам исследования строят график функции и при необходимости находят
7.* Дополнительные точки.