Момент силы относительно точки и оси. Теория пар сил. Приведение произвольной системы сил к заданному центру. Теорема Вариньона
Лекция 3 (продолжение – 3.3) Теорема Вариньона о моменте равнодействующей – Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно того же центра. Доказательство: Пусть система сил F1, F2, F3 … приводится к равнодействующей, приложенной в точке O. A O Такая система не находится в равновесии (R ≠ 0). Уравновесим эту систему силой R’, равной равнодействующей R, направленной по линии ее действия в противоположную сторону (аксиома о двух силах). Таким образом, система исходных сил F1, F2, F3 … и уравновешивающей силы R’ находится в равновесии и должна удовлетворять уравнениям равновесия, например: Поскольку сила R’, равна равнодействующей R и направлена по линии ее действия в противоположную сторону, то MA(R’) = - MA(R). Подстановка этого равенства в уравнение равновесия дает: или Примеры использования теоремы о моменте равнодействующей: 1. Определение момента силы относительно точки, когда сложно вычислять плечо силы. Например: A Силу F разложим на составляющие F1 и F2. Тогда момент силы F относительно точки A можно вычислить как сумму моментов каждой из сил относительно этой точки: 2. Доказательство необходимости ограничений для II и III форм уравнений равновесия: Если , то система приводится к равнодействующей, при этом она проходит через точку A, т.к. ее момент относительное этой точки должен быть равен нулю (теорема Вариньона). Если при этом , то равнодействующая должна также проходить через точку B. A B Тогда проекция равнодействующей на ось, перпендикулярную AB, и момент равнодействующей относительно точки, лежащей на AB, будут тождественно равны нулю при любом значении равнодействующей. С 9 Лекция 6 Момент силы относительно центра в пространстве. Момент силы относительно оси. Момент пары сил в пространстве. Момент силы относительно центра в пространстве – векторная величина, равная векторному произведению радиуса-вектора, проведенного из центра к точке приложения силы, и вектора силы. По определению векторного произведения вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через центр и силу, в ту сторону, откуда поворот радиуса-вектора к вектору силы на наименьший угол представляется происходящим по часовой стрелке. Модуль вектора момента силы относительно центра равен: Модуль вектора момента силы относительно центра численно равен удвоенной площади треугольника ΔOAB. Момент силы относительно оси – алгебраическая величина, равная произведению проекции вектора силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо этой проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью, взятая со знаком + (плюс), если вращение плоскости под действием силы представляется при взгляде навстречу оси происходящим против часовой стрелки, и со знаком – (минус) в противном случае. Момент силы относительно оси численно равен удвоенной площади треугольника ΔOab. Связь момента силы относительно центра и относительно оси. Модуль вектора момента силы относительно центра, лежащего на оси z, равен удвоенной площади треугольника OAB: Момент силы относительно оси z, равен удвоенной площади треугольника Oab: Треугольник Oab получен проекцией треугольника OAB на плоскость, перпендикулярную оси z, и его площадь связана с площадью треугольника OAB соотношением: , где γ - двугранный угол между плоскостями треугольников. Поскольку вектор момента силы относительно точки перпендикулярен плоскости треугольника OAB, то угол между вектором и осью равен углу γ. Таким образом, момент силы относительно оси есть проекция вектора момента силы относительно центра на эту ось: 18
Slaidy.com
