Момент силы относительно точки и оси. Теория пар сил. Приведение произвольной системы сил к заданному центру. Теорема Вариньона

Лекция 3 (продолжение – 3.3)
Теорема Вариньона о моменте равнодействующей – Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно того же центра.
Доказательство: Пусть система сил F1, F2, F3 … приводится к равнодействующей,
приложенной в точке O.
A
O
Такая система не находится в равновесии (R ≠ 0). Уравновесим эту систему силой R’, равной
равнодействующей R, направленной по линии ее действия в противоположную сторону
(аксиома о двух силах).
Таким образом, система исходных сил F1, F2, F3 … и уравновешивающей силы R’ находится
в равновесии и должна удовлетворять уравнениям равновесия, например:
Поскольку сила R’, равна равнодействующей R и направлена по линии ее действия
в противоположную сторону, то MA(R’) = - MA(R). Подстановка этого равенства в уравнение
равновесия дает:
или
Примеры использования теоремы о моменте равнодействующей:
1. Определение момента силы относительно точки, когда сложно вычислять плечо силы. Например:
A
Силу F разложим на составляющие F1 и F2. Тогда момент силы F относительно точки A можно вычислить как сумму моментов каждой из сил относительно этой точки:
2. Доказательство необходимости ограничений для II и III форм уравнений равновесия:
Если , то система приводится к равнодействующей, при этом она проходит через
точку A, т.к. ее момент относительное этой точки должен быть равен нулю (теорема Вариньона).
Если при этом , то равнодействующая должна также проходить через точку B.
A
B
Тогда проекция равнодействующей на ось, перпендикулярную AB, и момент равнодействующей относительно точки, лежащей на AB, будут тождественно равны нулю при любом значении равнодействующей.
С
9

Лекция 6
Момент силы относительно центра в пространстве.
Момент силы относительно оси.
Момент пары сил в пространстве.
Момент силы относительно центра в пространстве – векторная величина, равная
векторному произведению радиуса-вектора, проведенного из центра к точке приложения силы, и вектора силы.
По определению векторного произведения вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через центр и силу,
в ту сторону, откуда поворот радиуса-вектора к вектору силы на наименьший угол представляется происходящим по часовой стрелке.
Модуль вектора момента силы относительно центра равен:
Модуль вектора момента силы относительно центра численно равен удвоенной площади
треугольника ΔOAB.
Момент силы относительно оси – алгебраическая величина, равная
произведению проекции вектора силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо
этой проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью, взятая со знаком +
(плюс), если вращение плоскости под действием силы представляется при взгляде
навстречу оси происходящим против часовой стрелки, и со знаком – (минус)
в противном случае.
Момент силы относительно оси численно равен удвоенной площади
треугольника ΔOab.
Связь момента силы относительно центра и относительно оси.
Модуль вектора момента силы относительно центра, лежащего на оси z, равен удвоенной
площади треугольника OAB:
Момент силы относительно оси z, равен удвоенной площади треугольника Oab:
Треугольник Oab получен проекцией треугольника OAB на плоскость, перпендикулярную
оси z, и его площадь связана с площадью треугольника OAB соотношением:
, где γ - двугранный угол между плоскостями треугольников.
Поскольку вектор момента силы относительно точки перпендикулярен плоскости
треугольника OAB, то угол между вектором и осью равен углу γ.
Таким образом, момент силы относительно оси есть проекция
вектора момента силы относительно центра на эту ось:
18