Белорусский государственный университетМеханико-математический факультетКафедра функционально анализаТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГР

Руководитель:
кандидат физ - мат. наук, доцент кафедры функционального анализа
Мазель Майя Хаимовна

Содержание
Актуальность.
Поставленные цели и задачи.
Содержание методического пособия.
Примеры.

Актуальность
существует необходимость обновить ранее используемые лабораторные работы, увеличить количество задач по каждой теме, предложить дополнительные задачи.

Цель
подготовка материала для нового издания методического пособия по лабораторным и практическим занятиям по курсу функционального анализа и интегральных уравнений, часть 1.

Задача
состояла не просто в подборе любых задач, а таких, которые хорошо решаются и имеют не огромные вычисления.

Содержание
методического пособия
Рабата состоит из трех частей

Часть 1
Излагается необходимая теория, которая носит справочный характер, т.е определения, теоремы и следствия из них прописаны без доказательств.
Вся теория разбита на главы, а главы на параграфы. Каждый параграф относится к одной из лабораторных. К какой именно, видно из названий параграфов. Это облегчает поиск необходимой теории для каждой лабораторной в отдельности.

Часть 2
Приведены задачи к 6 лабораторным и 3 практическим занятиям по темам «ТЕОРИЯ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА».

В начале каждой лабораторной и практической работы приведены вопросы к математическому диктанту. Это теория, которой необходимо владеть для решения заданий, а также для успешного освоения курса в целом.

В конце каждой лабораторной
есть дополнительные задания, в которых надо что-то доказать, привести пример, контр пример либо решить.
Эти задачи разноуровневые: от легких до повышенной сложности. Они предназначены для интересующихся курсом студентов, а также могут использоваться в качестве дополнительных задач на экзамене.

Часть 3
В каждой лабораторной из каждого задания выбраны по одной наиболее сложной задаче и приведены их решения.

Примеры
1. Доказать, что множество является борелевским.
Решение.
Рассмотрим множество

Множество
является замкнутым в , следовательно, оно борелевское. Так как борелевская - алгебра на прямой замкнута относительно счетного объединения, то множество В также борелевское. Так как , то оно тоже борелевское.

Примеры
2. Пусть ,
где
При каких значениях параметра эта формула задает меру, - аддитивную меру? Если мера не является -аддитивной, то указать полуинтервал А и его разбиение такое, что .

Решение.
Так как функция F ограничена на множестве Х,то m является отображением S в . Аксиома аддитивности в определении меры выполняется. Возьмем произвольный полуинтервал
, тогда ,
.
Для выполнения второй аксиомы в определении меры необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство , если , т.е., чтобы функция F была монотонно возрастающей. Функция F монотонно возрастает, если . Итак, функция F порождает меру при .

По теореме о -аддитивности меры Лебега-Стилтьеса: F порождает -аддитивную меру тогда и только тогда, когда функция F является непрерывной слева в каждой точке. Это
условие выполняется только при .Пусть
и . Рассмотрим последовательность
, . Представим полуинтервал
, где .

Тогда ,
; .
Вычислим сумму ряда по определению:
,
.
Итак, мы получили, что
, если .