Алгебра и начала анализа 11 класс

Применение производной к исследованию функции
Возрастание
и убывание
функции

Рассмотрим график функции y=f(x).
Выберем два числа x1 и x2 из области определения функции, причём x1 < x2.
На рисунке видно,
что y1 = f(x1),
y2 = f(x2).
Число y1
меньше
числа y2.
Следовательно,
f(x1) < f(x2).
Возрастание функции

Определение 1
Функция называется монотонно возрастающей
(или просто возрастающей) в интервале a ≤ x ≤ b,
если из условия x1 < x2 следует, что f ( x1)< f ( x2 ).
При этом a ≤ x1 ≤ b, a ≤ x2 ≤ b.
Другими словами, функция называется монотонно возрастающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Примечание: представьте, что двигаясь по оси OX
слева направо, по графику функции движемся вверх.

Убывание функции
Рассмотрим график функции y=g(x).
Для двух чисел x1 и x2 из области определения
функции ( x1 < x2 )
y1 = g(x1),
y2 = g(x2).
Число y1
больше
числа y2.
Следовательно,
g(x1) > g(x2).

Определение 2
Функция y = g ( x ) называется монотонно убывающей
(или просто убывающей) в интервале a = < x < = b,
если из условия x2 > x1 следует, что g( x2 ) < g( x1 ).
При этом а = < x1 < = b, a = < x2
Другими словами, функция называется монотонно убывающей в некотором интервале, если из двух произвольных значений аргумента, взятых из этого интервала, большему соответствует меньшее значение функции.
Примечание: представьте, что двигаясь по оси OX слева направо, по графику функции движемся вниз.

Промежутки монотонности
Промежутки возрастания и убывания называются промежутками монотонности функции.

Определение постоянной функции
Рассмотрим график функции y=k.
График функции - это прямая, параллельная оси OX.
Очевидно, что эта функция не возрастающая и не
убывающая на всём множестве действительных
чисел.
Определение 3.
Функция, не
возрастающая
и не убывающая
на всей области
определения
Называется
постоянной.

Пример1: Найти промежутки монотонности, функции, заданной графически