Арифметический квадратный корень. Свойства квадратного корня

Арифметический квадратный корень
Определение: арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Арифметический квадратный корень из числа а обозначается так: √ а. Знак √ называется знаком арифметического квадратного корня; а называется подкоренным выражением. Выражение √ а читается так: «Арифметический квадратный корень из числа а».
В случаях, когда ясно, что речь идет об арифметическом корне, говорят: «Корень квадратный из а». Действие нахождения квадратного корня из числа называют извлечением квадратного корня.
Возводить в квадрат можно любые числа, но извлекать квадратный корень можно не из любого числа. Например, нельзя извлечь квадратный корень из числа -4, так как нет такого числа, квадрат которого равен -4.

Итак, выражение √ а имеет смысл только при а ≥ 0. Определение квадратного корня можно кратко записать так:
√ а≥ 0, ( √ а ) = а
Равенство ( √ а ) = а справедливо при а ≥ 0.

Квадратный корень из степени
Вычислим значение выражения √ а при а=3 и а=-3. По определению квадратного корня √3 =3. При а=-3 находим √(-3) = √3 =3. Так как число 3 является противоположным числу -3, то можно записать:
√(-3) = -(-3) или √ (-3)= |-3|.
Теорема 1: для любого числа а справедливо равенство √а  = |а| .
Рассмотрим два случая: а≥0 и a<0.
1)Если а≥0, то по определению арифметического корня
√ а =а.
2)Если а<0, то (-а) >0 и поэтому
√ а = √ (-а) = -а.
Таким образом,

Вместо того чтобы говорить, что равенство и √а² = |а| выполняется при любых значениях входящих в него букв, говорят, что это равенство выполняется тождественно.
Равенства, справедливые при любых значениях входящих в них букв, называют тождествами.

Теорема 2. Если a>b>0, то √a> √b.
В самом деле, если допустить, что √a ≤√b, то, возведя обе части неравенства в квадрат, получим a≤b, что противоречит условию a>b.

Квадратный корень из произведения
Теорема. Если a≥0, b≥0, то
√ab=√a
√b
т.е. корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей.
Для того чтобы доказать, что a b есть арифметический квадратный корень из ab, надо доказать, что:
1)√a∙√b≥0 2)(√a∙√b)=ab.
по определению квадратного корня √ a≥0, √b≥0,поэтому √a∙√b≥0. По свойству степени произведения и определению квадратного корня
(√a∙√ b ) = (√a )∙(√b ) =ab.

Квадратный корень из дроби
Теорема. Если а ≥0, b>0,то
т.е. корень из дроби равен корню из числителя, деленному на корень из знаменателя.
.
В некоторых задачах полезно избавиться от иррациональных выражений в знаменателе дроби.