Арифметична і геометрична прогресіи

Означення
Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, до якого додано одне й те саме число.

Різницею арифметичної прогресії називають число, що дорівнює різниці наступного і попереднього членів послідовності.
Позначається буквою d (differentia-різниця).

Якщо різниця арифметичної прогресії – додатне число, то прогресія називається зростаючою.(d>0): 6, 14, 22, 30…;
Якщо різниця арифметичної прогресії – від'ємне число, то прогресія називається спадною.(d<0): 13, 6, -1, -8…;
Якщо різниця арифметичної прогресії дорівнює нулю, то всі її члени рівні між собою і прогресія являється постійною послідовністю: 4, 4, 4, 4….

Теореми
Будь яка арифметична прогресія може бути задана формулою виду аn=kn+b, де k і b – деякі числа, є арифметичною прогресією.
Послідовність тоді й тільки тоді є арифметичною прогресією, якщо кожний її член, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх.

Наприклад
Якщо a1=1 і d=5, то отримаємо арифметичну прогресію:
2, 7, 12, 17, 22, 27,... .
Якщо а1=1 і d=2, то отримаємо арифметичну прогресію - послідовність непарних чисел:
1, 3, 5, 7, 9, 11, … .

Означення
Геометричною прогресією називають послідовність з відмінним від нуля першим членом, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне й те саме відмінне від нуля число.

Знаменником геометричної прогресії називається число, що дорівнює відношенню наступного і попереднього членів послідовності.
Позначається буквою q (quotient – частка).

Теорема
Послідовність тоді й тільки тоді є геометричною прогресією, якщо кожен її член, починаючи з другого, є середнім геометричним двох сусідніх.

Наприклад
Якщо b1=1 і q=3, то отримаємо геометричну прогресію:
1, 3, 9, 27, 81, 243, … .
Якщо b1=2 і q=2, то отримаємо геометричну прогресію, яка є послідовністю натуральних степенів числа 2:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, … .

Прогресія в літературі
Навіть у літературі ми зустрічаємося з математичними поняттями. Згадаємо із “Евгения Онегина”.
…Не мог он ямба от хорея,
Как мы не бились отличить…
Ямб – двоскладова стопа з наголосом на другому складі 2; 4; 6; 8;… Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію с першим членом 2 та різницею арифметичної прогресії 2.
Хорей – двоскладова стопа з наголосом на першому складі. Номера наголошених складів утворюють арифметичну прогресію 1; 3; 5; 7…; Перший член прогресії 1, різниця 2.

Наприклад
Ямб
“Мой дЯдя сАмых чЕсных прАвил…”
Прогресія: 2; 4; 6;…;
Хорей
“Я пропАл, как звЕрь в загОне”
Прогресія: 1; 3; 5;…;

Назад, в історію
Поняття числової послідовності виникло і розвивалося задовго до створення вчень про функції.
На зв‘язок між прогресіями вперше звернув увагу великий АРХІМЕД.

Прогресія в давнині
Задачі на прогресії які дійшли до нас із давнини були зв‘язані з господарським життям: розподіл продуктів, поділ спадщини та інше.

Стародавній Єгипет
Задача із єгипетського папіруса Ахмеса:
“Нехай тобі говориться: поділи 10 мір ячменю між 10 людьми, відмінність між людиною і його сусідом 1/8 міри”
Формула, якою користувалися єгиптяни:

Англія XVIII ст.
В ХVIII ст. в англійських підручниках з‘явилося позначення арифметичної та геометричної прогресій:
АРИФМЕТИЧНА:
ГЕОМЕТРИЧНА:

Німеччина
Карл Гаус моментально знайшов суму всіх натуральних чисел від 1 до 100, будучи ще учнем початкової школи.
Розв‘язання
1 + 2 + 3 + 4 + ….. + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + …… + (49 + 51) + 50 = 100 ∙ 49 + 50 = 4900 + 50 = 4950

Прогресія в житті та побуті
Для розв‛язання деяких задач по фізиці, геометрії, біології, хімії, економіці, в будівництві використовуються формули арифметичної та геометричної прогресії.

Задача легенда
Індійській цар Шерам покликав до себе винахідника шахматної гри, свого підданого Сету, щоб нагородити його за дотепну витівку. Сета, знущаючись над царем, вимагав за першу клітинку шахматной дошки 1 зерно, за другу — 2 зерна, за третю — 3 зерна и т. д. Потішенний цар посміявся над Сетой і наказав видати йому таку «скромну» нагороду. Чи варто царю сміятися?

Розв‛язання

Якби царю вдалося засіяти пшеницею всю площу поверхні Землі, враховуючи моря, океани, гори, пустині і отримати задовільний результат, то років через 5 він зміг би розрахуватися.
Таку кількість пшениці можна зібрати лише з поверхні, яка в 2000 раз більша за поверхню Землі. Це набагато більше за ту кількість пшениці, яка була зібрана до нашого часу.

Тести
Чи є наведена послідовність арифметичною прогресією?
а)24, 21, 20, 18;
б)16, 17, 19, 23;
в)-3, 2, 7, 12;

Який другий член арифметичної прогресії якщо а1=17, а різниця d=-2?
а)19;
б)15;
в)-15;

Яка з наведених послідовностей геометричною прогресією?
а)1, 3, 9, 27, ... .
б)1, 3, 5, 7, 9, ... .
в) -5, -10, 20, -40, ... .

Який знаменник заданої геометричної прогресії: 81, 27, 9, 3;?
а)1/3;
б)3;
в)0.3;

Презентацію підготували:
Ольховик Юлія
та
Летошко Катерина.
ДЯКУЄМО ЗА УВАГУ!!!☺

МОЛОДЕЦЬ!

ПОДУМАЙ ЩЕ!

ВІРНО