БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТМЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТКафедра уравнений математической физикиХодос Светла

СОДЕРЖАНИЕ
АКТУАЛЬНОСТЬ
ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ
НУЧНАЯ ГИПОТЕЗА
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ НАУЧНАЯ НОВИЗНА
ПОЛОЖЕНИЯ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
Выход

АКТУАЛЬНОСТЬ
В теории уравнений с частными производными особое место занимают вырождающиеся и сингулярные гиперболические уравнения второго порядка. Большинство вырождающихся уравнений сводится к сингулярным. Абстрактной моделью таких уравнений является обобщенное уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Нестационарные процессы акустики, вибрации, упругости и т.д. при гладко и резко изменяющимися граничными режимами и их типами моделируются обобщенными ДОУ Эйлера-Пуассона-Дарбу с переменными областями определения гладких и разрывных операторов и сингулярными гиперболическими уравнениями в частных производных с гладкими и разрывными коэффициентами в уравнениях .
Выход

ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ:
Разработка новых технических приемов, обобщающих известный метод энергетических неравенств исследования дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения, на сингулярные гиперболические дифференциально-операторные уравнения
Доказательство существования, единственности и устойчивости сильных решений обобщенного ДОУ Эйлера-Пуассона-Дарбу с переменными областями определения гладких и разрывных операторов и сингулярных гиперболических уравнений в частных производных с гладкими и разрывными коэффициентами
Выход

ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЯ:
Сингулярные гиперболические дифференциально-операторные уравнения с переменными областями определения
Выход

ПРЕДМЕТ ИССЛЕДОВАНИЯ:
Корректность задачи Коши для сингулярных гиперболических дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения операторных коэффициентов
Выход

Пусть Н-гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой . На ограниченном интервале рассматривается
дифференциальное уравнение
(1), (2),
где и функции переменной t со значениями в Н и – линейные самосопряженные неограниченные
операторы в Н с зависящими от t областями определения , – замкнутые операторы в Н с зависящими от t областями определения .
НУЧНАЯ ГИПОТЕЗА:
Выход

Предполагаем, что если операторы удовлетворяют условиям А1-В3, тогда рассматриваемая задача Коши корректна
А1. При каждом для операторов выполняется оценка
А2. Обратные операторы операторов сильно непрерывны по t в Н и при всех имеют в Н сильную производную, которая удовлетворяет неравенству
А3. При почти всех операторы имеют в H ограниченную сильную производную
, для которой
Выход

В1. При каждом для операторов
выполняется оценка
В2. При почти всех t справедливы неравенства
где – квадратный корень операторов .
В3. При каждом операторы подчинены
операторам и
.
В H при всех t ограничены операторы и
Выход

НАУЧНАЯ НОВИЗНА:
Усовершенствованы технические приемы исследования дифференциально-операторных уравнений с переменными областями определения
Получены новые и имеющие большое научное значение результаты в теории дифференциально-операторных уравнений
Выход

ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО
Теорема 1. Если выполняются условия
А1, А2, В1, В2 и множество плотно в ,
то имеет место следующее неравенство
Выход
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ:

ТЕОРЕМА CУЩЕСТВОВАНИЯ
Теорема 2. Если выполняются условия А1-А3 и В1-В2, тогда для каждого сильное решение задачи Коши (1), (2) существует, единственно и
Выход

В области переменных x и t рассматривается сингулярное гиперболическое уравнение в частных производных
с переменными по времени граничными условиями
и однородными начальными условиями
Выход

Гильбертовым пространством Н будет .
Уравнение (1*) является частным случаем уравнения (1)
для каждого при следующих операторах:
,
Выход

Здесь коэффициенты уравнения ,
, и граничных условий
и
для всех .
Выход

Теорема 3. Если коэффициенты уравнения и граничных условий
удовлетворяют указанным выше требованиям, то для любой
функции начально-краевая задача (1*)-(3*) имеет
единственное сильное решение , для которого справедлива
оценка
где гильбертово пространство – замыкание множества всех
функций , удовлетворяющих условиям (2) и (3), по норме
левой части этой оценки и выражение
Выход

ПОЛОЖЕНИЯ ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:
Доказательство теорем существования, единственности и устойчивости сильных решений обобщенного ДОУ Эйлера-Пуассона-Дарбу с переменными областями определения гладких и разрывных операторов и сингулярных гиперболических уравнений с гладкими и разрывными коэффициентами
Установление корректности разрешимости новых смешанных задач для сингулярных гиперболических уравнений в частных производных с зависящими от времени граничными условиями
Выход