ДИНАМИКА ТОЧКИ

1. Следствия из Т. об изменении момента количества движения
1) При движении под действием центральной силы траектория точки есть плоская кривая
Для изучения движения будем пользоваться полярными координатами
2) Движение точки происходит с постоянной секторной скоростью (закон площадей)
- секторная скорость
- постоянная площадей
Закон площадей

2. Скорость точки
Кинематика:
радиальная компонента
трансверсальная компонента
Исключаем время используя закон площадей
новая переменная

3. Уравнение Бинэ
Диф. уравнение траектории точки, движущейся под действием центральной силы (уравнение Бинэ).
Интеграл энергии
Дифференцируем по
2 этапа решения задачи
Из уравнения Бинэ найти траекторию
Из закона площадей найти закон движения по траектории

4. Пример: движение по окружности
Найти закон центральной силы, под действием которой точка будет двигаться по окружности

5. Законы Кеплера
1) Все планеты (и кометы) описывают вокруг Солнца плоские
орбиты, следуя закону площадей.
2) Орбиты эти суть конические сечения, в одном из фокусов
которых находится Солнце.
3) Квадраты звездных времен обращения планет вокруг Солнца
пропорциональны кубам больших полуосей их орбит.
Из законов Кеплера Ньютон нашел закон, по которому изменяется
сила, действующая на планету при ее движении вокруг Солнца,
а затем пришел к закону всемирного тяготения. Как он мог это сделать?
1-й закон
действующая на планеты сила есть сила центральная, направление которой проходит через Солнце

6. Следствие из второго закона
постоянная Гаусса
2-й закон
сила, действующая на планеты, будет силой, притягивающей их к Солнцу обратно пропорционально квадрату расстояния.
Уравнение конического сечения в полярных координатах
Для эллипса
- эксцентриситет

3ий з-н
Ньютона
7. Следствие из третьего закона
Солнце притягивает Землю с силой
Земля притягивает Солнце с силой
Отношение гауссовой постоянной любого тела к его массе есть константа, называемая гравитационной постоянной.
3-й закон
постоянная будет одна и та же для всех тел солнечной системы.
По третьему закону

Траекторией точки будет коническое сечение (эллипс, парабола или гипербола), один из фокусов которого совпадает с притягивающим цен-
центром. Конкретный вид траектории зависит от значений постоянных
и , т. е. от начальных условий.
8. Задача Ньютона
Найти траекторию материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния
выбор начала отсчета

9. Виды траекторий
Пусть в точке Р (перицентр) известна скорость . Каков будет вид траектории?
параболическая скорость
круговая скорость
(траектория –окружность)
ЗП:
Если начальная скорость задана вблизи Земли ( ), то

10. Виды траекторий и энергия
Выразим эксцентриситет через постоянную энергии
Нормированный на m интеграл энергии
полная энергия
кинетическая
потенциальная

11. Определение параметров траектории по начальным данным
Известны Найти
1) Найти константы площадей и энергии
2) Найти

12. Движение вдоль орбиты. Уравнение Кеплера
Закон площадей
Замена переменных
эксцентрическая аномалия