ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГИПОТЕЗЫ ПУАНКАРЕ И ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА

Двумерные многообразия
Пусть и – два множества в евклидовом пространстве произвольной размерности. Если задано отображение , которое каждой точке множества ставит в соответствие точку множества и
1) отображение взаимно-однозначно, то есть различные точки переходят в различные;
2) отображение непрерывно, то есть близкие точки переходят в близкие;
3) обратное отображение непрерывно, то множества и – гомеоморфны, а отображение называется гомеоморфизмом.
Рис. 1
Например, внутренность круга гомеоморфна всей плоскости (рис.1)

Двумерные многообразия
Например, поверхность куба гомеоморфна сфере (рис.2)
Рис. 2

Двумерные многообразия
Рис. 3

Двумерные многообразия
Рис. 4

Двумерные многообразия
Рис. 5

Двумерные многообразия
Любая компактная двумерная поверхность гомеоморфна либо сфере с p ручками, либо сфере с q листами Мебиуса, причем сферы с ручками не гомеоморфны сферам с листами Мебиуса, так как второй ряд поверхностей образуют неориенти-руемые поверхности. Сферы с различным числом ручек и различным числом листов Мебиуса также негомеоморфны между собой.
Рис. 6

Двумерные многообразия
Рис. 7

Двумерные многообразия
Рис.8

Двумерные многообразия
Рис.9

Двумерные многообразия
Рис. 10

Фундаментальная группа
Рис. 11
Две петли и , проходящие через фиксированную точку P , называются гомотопными, если их можно непрерывно деформировать одна в другую. И мы уже можем рассматривать класс гомотопных петель.

Трехмерные многообразия
Рис. 12

Трехмерные многообразия
Рис.13

Трехмерные многообразия
Каждое компактное ориентируемое 3-мерное многообразие раскладывается в связную сумму
где сомножители - замкнутые неприводимые трехмерные многообразия, -декартово произведение окружности на двумерную сферу и в связную сумму входит r –компонент. множители имеют бесконечную фундаментальную группу, множители - конечную фундаментальную группу.

Трехмерные многообразия
Рис. 14

Трехмерные многообразия
Любое трехмерное компактное неприводимое многообразие можно разрезать конечным числом несжимающихся торов на компактные многообразия, границей которых есть торы.Каж-дое из этих многообразий или торонеприводимо или является многообразием Зейферта.
Гипотеза Пуанкаре состоит в следующем. Пусть – ком-пактное трехмерное односвязное многообразие (т.е. любая петля на многообразии стягивается в точку). Верно ли, что это многообразие гомеоморфно трехмерной сфере ?

А. Пуанкаре в 1904г высказал гипотезу, что любое компактное односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере . Геометрическая гипотеза Терстона заключается в том, что любое компактное трехмерное многообразие можно каноническим способом разбить торами и сферами на куски, что на каждом из этих кусков можно задать одну из 8 стандартных трехмерных геометрий.
Последний решающий шаг в решении проблемы Пуанкаре и сделал Г. Перельман. Главным инструментом для решения этих проблем был поток Риччи, введенный Р. Гамильтоном в 1982г.

Поток Риччи
Пусть есть риманово неприводимо компактное многообразие, на котором в локальных координатах метрика задается в виде

Поток Риччи
t=0
Рис. 15

Поток Риччи
Рис. 16

Поток Риччи
Рис. 17

Поток Риччи
Рис. 18

Поток Риччи
Рис. 19
Рис. 20

Поток Риччи
Рис. 21

Sylvia Nasar and David Cruber. Manifold Destiny. A legendary problem and the battle over who soved it. (The new Yorker.)
http://www.newyorker.com/fact/content/articles/060828fa_fact2.21.08.2006г. Русский перевод vadda. http:// vadda.livejournal.com

Принцип максимума и функция Ляпунова
А.М. Ляпунов
(1857-1918)

Я хочу показать, как фактически использовалась идея функций Ляпунова в принципе максимума Р.Гамильтона, который являлся существенным инструментом для доказательства Г.Перельманом гипотезы Пуанкаре .
Исследование устойчивости невозмущенного движения сводится к исследованию устойчивости нулевого решения системы:
(1)
,
Неподвижная точка (0,…,0) называется положением равновесия.

Определение. Положение равновесия называется устойчивым по Ляпунову, если для любого и существует положительное число такое, что если в момент времени решение системы (1) , то при решение . В противном случае положение равновесия называется неустойчивым. Если при этом при , то точка равновесия называется асимптотически устойчивой.
Один из фундаментальных способов доказательства устойчивости и неустойчивости связан с функцией Ляпунова , которая определяется следующим образом:
1)
– регулярная функция, по крайней мере класса
2)
;
3)
, если
.

Заметим, что при малых положительных множество точек в пространстве является замкнутой гиперповерхностью , гомеоморфной сфере , которая ограничивает область , содержащую начало координат. Эта точка является точкой равновесия для системы (1).
Сейчас для простоты возьмем случай, когда система (1) автономна, т.е. функции не зависят от . Рассмотрим систему
(2)
Производная функции вдоль интегральных траекторий системы (2)
определяется как
(3)

Так как удовлетворяют системе (2), то
(4)
,
где по идет суммирование от 1 до . Имеет место
Теорема (Ляпунов). Пусть система (2) имеет неподвижную точку в начале координат. Если в некоторой окрестности начала координат существует функция Ляпунова такая, что
I.
(5)
,
то начало координат является устойчивой неподвижной точкой системы (2);
II.
если
(6)
везде в окрестности, исключая начало координат, то начало координат – асимптотически устойчивая неподвижная точка.

Рис. 1

Ясно, что
(7)
где направлен по нормали гиперповерхности вне компактной области , которую ограничивает гиперповерхность и которая содержит неподвижную точку системы (2), – вектор касательный к интегральной траектории системы (2), – скалярное произведение в евклидовом пространстве . Из (7) следует, что условие (6) эквивалентно тому, что вектор на гипер-поверхности уровня строго направлен во внутрь области , а условие (5) значит, что вектор либо строго направлен во внутрь области , либо может лежать в касательной гиперплоскости к .
Используя уравнения Риччи потока можно получить эволюционные уравнения для измерения скалярной кривизны, тензора Риччи, тензора кривизны. Эти системы эволюционных уравнений будут иметь вид:
, i =1,…,k (8),
где -оператор Лапласа на римановом многообразии с метрикой g,
система функций на M.

Мы рассматриваем как отображение M в евклидово пространство . Пусть U -открытое множество в и – гладкое векторное поле на U . Пусть метрика g и также зависит и от времени. Рассмотрим нелинейную систему параболических уравнений.
, (9)
и предположим, что решение существует на промежутке времени . Пусть X – замкнутое выпуклое множество в , которое содержит начальные данные . Когда решение системы (9) останется в множестве X при ? Для ответа на этот вопрос рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(10)

в области и зададим тот же вопрос: когда решение системы (10) останется в X ? Пусть – граница выпуклого множества X . В общем случае, когда X содержит внутренние точки, это будет выпуклая нере-гулярная гиперповерхность. В точке мы определяем касательный конус как наименьший выпуклый конус с вершиной , который содержит X . есть пересечение замкнутых полупространств, содержащих X и гиперплоскости, ограничивающие эти полупространства, проходят через точку . Если точка – есть гладкая точка гиперповерхности , то совпадает с замкнутым полупространством, содержащим X, которое ограничивает касательная плоскость в точке
.
Теорема. Решение системы (10) с начальными данными в замкнутом выпуклом множестве X останется в X тогда и только тогда, когда для всех .
Легко видеть, что эта теорема есть прямой нерегулярный аналог теоремы устойчивости Ляпунова. Здесь гиперповерхность заменяет гипер-поверхности уровня , а касательный конус заменяет замкнутое полупространство, которое ограничивает касательная гиперплоскость к
.