Двоичная система счисления (9 класс)

"Мысль выражать все числа десятью знаками, придавая им кроме значения по форме еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна."
П.Лаплас

Наиболее известные нумерации мира
Древнеегипетская нумерация
Древнегреческая нумерация
Вавилонская нумерация
Нумерация индейцев Майя
Старо-Китайская нумерация
Славянская кириллическая нумерация
Славянская глаголическая нумерация
Латинская нумерация
Современная арабская нумерация

Египетская нумерация
1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки.
Если палочек нужно изобразить несколько, то их изображали в два ряда, причем в нижнем должно быть столько же палочек сколько и в верхнем, или на одну больше.

10. Такими путами египтяне связывали коров
Если нужно изобразить несколько десятков, то иероглиф повторяли нужное количество раз. Тоже самое относится и к остальным иероглифам.
100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила.

Древняя греческая нумерация
1, 2, 3, 4
6, 7, 8, 9
10

Вавилонская нумерация
1
10
0

Нумерация индейцев Майя
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
0 или 20

Китайская нумерация
°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
10
100
1000

Славянская кириллическая нумерация

Славянская глаголическая нумерация
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000

Латинская (Римская) нумерация
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000

Арабская системы счисления
Впервые такая система, вернее ее зачатки появилась в Древнем Вавилоне, почти в то же время она была изобретена в Китае, потом в Индии, откуда перекочевала на Аравийский полуостров, а затем и в Европу. Здесь эту систему счисления назвали Арабской, и под этим именем она разошлась по всему миру. Так что, говоря "арабские числа" надо иметь в виду, ну, хотя бы индийские.

Позиционные системы счисления

Правило.
Для перевода целого числа N в систему счисления с основанием q необходимо разделить N на q с остатком. Затем неполное частное, полученное от этого деления снова разделить на q с остатком и т.д., пока последнее частное не станет равным нулю. Получившиеся остатки выписать в обратном порядке.

Примеры:
Переведем числа 75 и 12 из десятичной системы счисления в двоичную.

2
1 37 2
1 18 2
0 9 2
1 4 2
0 2 2
0 1 2
1 0
Ответ: 7510 = 10010112
12 2
0 6 2
0 3 2
1 1 2
1 0
Ответ: 1210 = 11002

Задание.
Переведите десятичные числа в двоичную.
1 вариант - 25 и 42
2 вариант - 35 и 30

Ответы:
2510 = 110012
3510 = 1000112
4210 =1010102
3010 = 111102

Правило.
Для перевода правильной десятичной дроби N в систему счисления с основанием q необходимо умножить N на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, до тех пор пока дробная часть не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность. Получившиеся результате произведения целые части дроби выписать сверху вниз.

Примеры:
Переведем число 0,1875 и 0,12 (с точностью до 6 знаков) из десятичной системы счисления в двоичную.

0 1875
0 375
0 75
1 5
1 0
Ответ: 0,187510 = 0,00112
0 12
0 24
0 48
0 96
1 92
1 84
1 68
… …
Ответ: 0,1210 = 0,0001112

Задание.
Переведите десятичные дробные числа в двоичную.
1 вариант - 0,25 и 0,3 (с точностью 4 знака)
2 вариант - 0,75 и 0,4 (с точностью 4 знака)

Ответы:
0,2510 = 0,012
0,7510 = 0,112
0,310 = 0,01002
0,410 = 0,01102

Правило.
Для перевода числа х (хq = апап-1…а0,а-1а-2…а-т) из системы счисления с основанием q (q=2, 8 или 16) в десятичную систему счисления необходимо вычислить значение многочлена
х10=ап qп+ ап-1 qп-1+…+а0 q0+а-1 q-1+а-2 q-2+…+а-т q-т.

Примеры:
Переведем число 111001,12 в десятичную систему счисления.
111001,12 = 1. 25 + 1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20 + 1.2-1 = 57,510
Решения:

Задание:
Переведите числа в десятичную систему счисления.
1 вариант - 1 111, 012
2 вариант - 10 000, 0012

Ответы:
1 111, 012 = 15, 2510
10 000, 0012 = 16, 12510

Домашнее задание.
Переведите числа из десятичной системы счисления в двоичную:
100,45 99 0,8125
2. Переведите число в десятичную систему счисления:
110 000, 1112

Дополнительное задание.
Переведите в двоичную.
200410 и 300410
Ответы:
200410 = 11 111 010 1002
300410 = 101 110 111 1002