Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей. Формула бинома Ньютона

Содержание
Введение
Проанализируем полученные формулы
Предположение
Доказательство формулы
Биномиальные коэффициенты
Пример
Свойство биномиальных коэффициентов
Для учителя
Источники
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Введение
Известно, что (а + b)2 = а2 + 2аb + b2.
Умножив обе части этого тождества на (а + b), получим: (а + b)3= (а2 + 2аb + b2)(а + b) = = а3 + За2b + Заb2 + b3. Аналогично умножив обе части тождества
(а + b)3 = а3+ За2b + Заb2 + b3 на (а + b), получим:
(а + b)4 = (а3 + За2b + 3 аb2 + b3)(а + b) =
а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4аb3 + b4.
Итак,
(а + b)1 = а + b;
(а + b)2 = а2 + 2аb + b2;
(а + b)3 = а3 + За2b + 3аb2 + b3;
(а + b)4 = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4аb3 + b4.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Проанализируем полученные формулы
Замечаем, во-первых, что в правой части любой из формул сумма показателей при переменных в каждом одночлене равна показателю двучлена в левой части. Например, в последней формуле двучлен возводится в четвертую степень и сумма показателей при а и b в каждом слагаемом в правой части равна 4. Впрочем, это понятно, ведь (а + b)4 — это (а + b)(а + b)(а + b)(а + b) и после раскрытия скобок получится многочлен, состоящий из одночленов а4, а3b, а2b2, аb3, b4 с некоторыми коэффициентами.
Замечаем, во-вторых, что коэффициенты при одночленах в правых частях формул ассоциируются с треугольником Паскаля, о котором мы говорили в § 52. Сравните числа, имеющиеся в первых четырех строках треугольника, с соответствующими коэффициентами при одночленах в каждой из четырех формул. Полное совпадение.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Предположение
Естественно предположить, что подмеченная закономерность сохранится и в общем случае, т. е. для любого натурального значения n верна следующая формула:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Доказательство формулы
Рассмотрим произведение n двучленов
(а + b)(а + b)(а + b)•...• (а + b) и докажем, что коэффициент при одночлене an-kbk равен .
В самом деле, чтобы, раскрыв скобки, получить одночлен вида an-kbk, нужно из n множителей вида (а + b) выбрать k множителей (порядок не важен), откуда берется переменная b; тогда автоматически из оставшихся n-k множителей будет взята переменная а. Но выбрать k множителей из n имеющихся без учета порядка можно способами, что и требовалось доказать. •
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Биномиальные коэффициенты
Формулу (1) обычно называют формулой бинома Ньютона (бином — двучлен), а коэффициенты
биномиальными коэффициентами.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Пример
Раскрыть скобки в выражении:
а) (x + 1)6;
б) (а2 - 2b)5.
Решение:
а) Применим формулу (1), считая, что
а = x, b= 1, n = 6. Получим:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Свойство биномиальных коэффициентов
В заключение получим одно любопытное свойство биномиальных коэффициентов. Составим формулу бинома Ньютона для выражения (х + 1)n (подобно тому, как в рассмотренном примере мы применили формулу бинома Ньютона к выражению (х + I)6). Получим:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Для учителя
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики