Факторизация измеримых матриц-функций

Фактризация: используется в задачах теории упругости в физике, а также в задачах теории композитных материалов. Существуют метода, позволяющие узнать, когда факторизация возможна.
Актуальность:

Ставится задача, найти специальные классы матриц, размерности 2, для которых возможно построение алгоритма фактризации в явном виде. Требуется найти точные и приближенные методы фактризации для данного класса матриц.
Поставленные цели и задачи:

Объектом исследования являются матрицы, с элементами-измеримыми функциями.
Предмет- найти способ факторизовать матрицы, то есть представить их в специальном виде, который даст нам возможность, затем использовать эти данные для прикладных вычислений
Понятие факторизации

Постановка задачи

Пример

Доказано, что фактризация для матриц порядка 2*2, в классе измеримых функций, возможна. Мы будем исходить из предположения существования алгоритма постороения факторизации для данного класса матриц за конечное число шагов.
гипотеза

Были построены алгоритмы фактризации для следующих классов матриц-функций
треугольные матриц-функции порядка 2×2 с полиномиальными элементами;
симметрические матриц-функции порядка 2×2;
функционально-коммутативные матриц-функции порядка 2×2;
классы матриц-функций порядка 2×2, допускающие диагонализацию при помощи постоянной матрицы с ненулевым определителем;
матриц-функции порядка 2×2 с элементами-полиномами, один из которых имеет корни либо только внутри контура, либо только вне его;
факторизация гёльдеровских треугольных матриц-функций порядка 2×2;
факторизация гёльдеровских треугольных матриц-функций порядка 3×3 и выше
Основные результаты.

http://booklists.narod.ru/M_Mathematics/Mezhdunarodnyj_kongress_matematikov_v_Moskve__1966._Trudy__Mir__1968__ru__L__T__364s_.3.htm
http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml?fpage=227&issue=2&jrnid=sm&lpage=248&paperid=2501&volume=153&wshow=paper&year=1980
http://www.lib.vsu.ru/resurses/rj/math/2005/13_06_2005.pdf
Источники в сети

Для классов матриц функций показаных выше был создан алгоритм факторизации, есть примеры и доказательства подтверждающие истинность соответсвующих алгоритмов
Положения выносимые на защиту

В работе были рассмотрены алгоритмы факторизации матриц-функций различных классов. В частности, были построены алгоритмы для следующих классов: треугольные матриц-функции с элементами полиномами порядка 2×2, симметрические матриц функции порядка 2×2, функционально-коммутативные матриц-функции порядка 2×2,
Заключение

некоторые специальные классы матриц-функций, которые допускают диагонализацию при помощи постоянной матрицы с отличным от нуля определителем. Для всех этих классов были построены алгоритмы, которые и были реализованы в пакете Mathematica. Были приведены соответствующие примеры

Хотелось бы отметить важное значение компьютерной реализации для проверки гипотез. Многие программы символьной алгебры, такие как Mathematica, Maple позволяют быстро реализовать любой алгоритм, а встроенное ядро позволяет достаточно вычислить его на конкретных примерах, и хотя не всегда можно подтвердить, что данная гипотеза верна, но можно достаточно быстро отбросить неверные гипотезы

. В некоторых случаях существует возможность осуществить непосредственную проверку гипотез на правдоподобность, вычислив то, что требуется в общем случае