Формирование вероятностно-статистических моделей объектов эксплуатации летательных аппаратов

Исходные данные и порядок формирования
вер.-стат. модели эксплуатации
Эксплуатация авиационной техники (АТ) – это целенаправленная деятельность коллектива людей по применению, техническому обслуживанию, ремонту, хранению и транспортированию АТ.
Эксплуатация АТ определяется следующими компонентами :
параметрами объектов эксплуатации, в т. ч. эксплуатационными свойствами техники;
технологическими эксплуатационными процессами;
коллективами людей, осуществляющими эти процессы на технике;
внешними условиями (средой), в которой эксплуатируется техника.

Исходные данные и порядок формирования
вер.-стат. модели эксплуатации
Исходными данными для формирования вер.-стат. модели являются экспериментальные результаты исследований параметров компонент эксплуатации.
На основании исходных данных строится гистограмма распределений (плотности распределения или частости). По виду этой гистограммы выдвигается гипотеза о виде закона распределения исследуемого параметра. Эта гипотеза проверяется с помощью критерия согласия. При подтверждении гипотезы она принимается, а в случае отказа в подтверждении гипотезы - корректируется вер.-стат. модель.

Законы распределения непрерывных случайных величин, используемые при формировании вер.-стат. моделей
В практике эксплуатации АТ встречаются следующие непрерывные распределения вероятностей:
нормальное,
экспоненциальное,
Вейбулла,
гамма-распределение,
логарифмически-нормальное

Нормальное распределение
Нормальному распределению приближенно соответствует распределение суммарной наработки восстанавливаемого изделия до капитального ремонта.
Общий вид плотности распределения нормального закона определяется формулой:
т.е. нормальный закон является двухпараметрическим (величина m есть математическое ожидание случайной величины x, а величина σ – ее среднее квадратичное отклонение).
Функция нормального распределения имеет вид:

Экспоненциальное распределение
Экспоненциальное распределение встречается после окончания периода приработки (в период нормальной эксплуатации), когда поток отказов восстанавливаемых изделий часто является простейшим.
Экспоненциальное распределение часто используется при рассмотрении внезапных отказов в тех случаях, когда явления износа и старения слабо выражены и ими можно пренебречь.
Экспоненциальное распределение широко используется в теории массового обслуживания, с помощью которой могут быть хорошо описаны процессы технического обслуживания летательных аппаратов на авиационно-технической базе.

Экспоненциальное распределение
Плотность распределения вероятностей в случае экспоненциального распределения имеет вид:
Экспоненциальный закон является однопараметрическим, параметр λ распределения является строго положительной константой, а сама случайная величина x тоже положительная величина и может изменяться от нуля до бесконечности.
Функция экспоненциального распределения

Распределение Вейбулла
Распределение Вейбулла часто используется в теории надежности. Законом Вейбулла описывается наработка до отказа у многих невосстанавливаемых изделий (подшипники качения, изделия, у которых отказ наступает вследствие усталостного разрушения).
При рассмотрении надежности технических систем используют интенсивность отказов . Этот параметр для значительного числа технических изделий изменяется так, как это показано на рис. 1

Распределение Вейбулла
1-ый период τn от начала эксплуатации называется периодом «приработки» («обкатки»).
2-ой период - период τH нормальной эксплуатации.
Последний период τс (от конца периода нормальной эксплуатации до списания) - период старения и износа.

Распределение Вейбулла
Выражения, определяющие распределение Вейбулла:
Влияние параметра b на график функции f(x).
При b > 1 этот график имеет скошенный вид с максимумом функции.
При b = 1 закон Вейбулла полностью совпадает с экспоненциальным законом.
При b < 1 график функции f(x) – резко спадающая кривая.

Гамма-распределение
Гамма-распределение может встречаться в следующих случаях :
- этому распределению подчиняется иногда время восстановления;
- если наработка до отказа имеет экспоненциальное распределение, то в случае применения ненагруженного резервирования замещением возникает гамма-распределение;
- если поток отказов у восстанавливаемого изделия простейший, то наработка через один (вообще между несколькими) отказ подчиняется гамма-распределению.
Выражения для закона распределения:

Логарифмически-нормальное распределение
Это распределение может встретиться в следующих случаях:
– распределение времени наработки до отказа у некоторых изделий (электронные лампы, изделия, у которых отказ наступит вследствие усталостного разрушения);
- время восстановления некоторых изделий может подчиняться логарифмически-нормальному распределению.
График функции f(y) – плотности вероятностей для логарифмически-нормального закона