Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

Цели урока:
отрабатывать навыки применения формулы n-го члена арифметической прогрессии, формулы суммы n-членов арифметической прогрессии;
воспитывать аккуратность и дисциплинированность;
развивать умение выделять главное, сравнивать, обобщать изучаемые факты, логически излагать свои мысли.

Фронтальная беседа
1. Приведите примеры последовательности.
2. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.
3. По какой формуле вычисляется n-й член арифметической прогрессии?
4. По какой формуле находится сумма первых n-членов арифметической прогрессии?

Из истории математики
С формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно», надеясь, что это займёт много времени. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул : «Я уже решил…»
Большинство учеников после долгих вычислений получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное. Маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. И таких чисел будет 50. Осталось умножить 101 на 50, что он сделал в уме. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли «царём математики».

Задача 1: Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, в которой a1 = 6, d= 4
Решение:
Найдём сумму по формуле:S=(a1 + аn) :2 ·n
По формуле аn=a1+ d(n-1) найдём сначала а16.
а16 = 6 + 4 (16 – 1) = 6 + 4·15=66, тогда
S16= (6 +66) : 2 ·16 = 72·8 =576
Ответ:576
Решение задач:

Задача 2: Тело в первую секунду прошло 16 метров, а в каждую следующую проходило на 3 метра больше, чем в предыдущую. Какой путь прошло это тело за 7 секунд?
Решение:
Найдём сумму по формуле:S=(a1 + аn) :2 ·n
По формуле аn=a1+ d(n-1) найдём сначала а7.
а7 = 16 + 3 (7 – 1) = 16+18=34, тогда
S7= (16 +34) : 2 ·7 = 50:2 ·7 =175
Ответ:175

Задача 3: Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший 5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Найдите длину семи стержней.
Решение:
Составим последовательность (аn) : 5; 7; …
а1= 5 d= 2 S7=?
а7= 5 + 2 (7 – 1) = 17
S7=(5 +17) : 2·7= 77
Ответ:77

Задача 4: Какое из следующих чисел не является членом арифметической прогрессии 12; 14;16;…
А) 60 Б) 62 В) 63 Г) 66
Ответ В
Задача 5: Шары расположены в форме треугольника так, что в первом ряду один шар, во втором – два, в третьем – три и т.д. Во сколько рядов размещены шары, если их число равно 120?
Ответ : 15

Самостоятельная работа:
Вариант 1
№1Выберите последовательность, которая
является арифметической прогрессией
А) 34;33;31;28;… Б) 45;15;5;1;…
В) 12;17;22;27 … Г) 29; -28;27; -26;…
№2Выберите последовательность, которая НЕ
является арифметической прогрессией
А) 1;2;3;4… Б) -10; -9; -7;-4;0;5;….
В) -3; -8; -13; -18;…Г) 1,2; 2,7; 4,2…
№3 Найдите разность арифметической
прогрессии 15;30;45;…
А) 15 Б) -15 В) 2 Г) ½
№4 Найдите сумму первых восьми членов
арифметической прогрессии, если известно, что
её первый член равен -4, а разность равна 2
А) 12 Б) 10 В) 24 Г) 32
№5 Найдите пятый член арифметической
прогрессии, если ее первый член равен 7, а
разность равна -2
А) -3 Б) -1 В) 0,4375 Г) 112
Вариант 2
№1Выберите последовательность, которая
является арифметической прогрессией
А) 7;14;-7;-14;14;21… Б) -8;-5;-2;…
В) -40;-39;-38;38;39;40;-37;-36; ….
Г)-7;2;-6;3;-5;4;…
№2Выберите последовательность, которая НЕ
является арифметической прогрессией
А) 10;20;30;40… Б) 6;4;8/3;16/9;….
В)7,5;5,5;3,5;1,5;… Г) 3;6;9;12;…
№3 Найдите разность арифметической
прогрессии 4;8;12;16....
А) 2 Б) 1/2 В) -4 Г) 4
№4 Найдите сумму первых десяти членов
арифметической прогрессии, если известно, что
её первый член равен -7, а разность равна 3
А) 65 Б) 23 В) 80 Г) 20
№5 Найдите девятый член арифметической
прогрессии, если ее первый член равен 3, а
разность равна 0,5
А) 7,5 Б) 7 В) 768 Г) 0,01171875

В заключении вспомним строки А.С.Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое:
«…не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб - стихотворный метр с ударениями на чётных слогах стиха, то есть ударными слогами являются 2-й, 4-й,6-й,8-й и так далее слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2;4;6;8;… Хорей – стихотворный размер с ударением на нечётных слогах стиха. Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но её первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум:1;3;5;7;….
Итог урока:

1. Пятый член арифметической прогрессии равен 8,4, а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.
2. Сколько положительных членов в арифметической прогрессии
96,4; 91,8;….?
3. Между числами 6 и 17 вставьте четыре числа так, чтобы вместе с данными числами они образовали арифметическую прогрессию
Домашнее задание: