Функции и графики.

Линейная функция
Обратная пропорциональность
Задачи ГИА
Квадратичная функция
Свойства функций
Построение графика кусочной функции и её исследование
Тестовая работа

Линейная зависимость y=kx+b
K>0, b>0
K>0, b=0
K>0, b<0
K<0, b<0
K<0, b=0
K<0, b>0
x
x
К- угловой коэффициент
y
y
Если К>0, функция возрастающая, если К<0, функция убывающая.

На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b.
Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов k и b.
а)k>0, b>0 б) k<0, b>0 в) k<0, b<0
Ответ:
1.
2.
3.
x
x
x
y
y
y
в а б

x
y
2
4
График какой линейной функции изображен на рисунке?
y=2x+4
y=-2x+4
y=0,5x+4
Y=-0,5x+4
0

Прямые y=kx-6 и у=5x+4 параллельны. Какие значения может принимать k?
Ответ: 5
X
y
y=kx-6
у=5x+4

Запишите уравнение квадратичной функции:
y =
y=
y=
y=
Преобразование графиков квадратичной функции.
x
y

Запишите уравнение квадратичной функции:
y =
y =
y =
y =
Преобразование графиков квадратичной функции.
x
y

0
1
1
2
х
y
На рисунке изображен график функции y=x2-2x. Используя график функции решите неравенство x2-2x<3.
(-1;3)
[-1;3]
(-∞;-1)U(3;+∞)
(-∞;-1]U[3;+∞)
Решение квадратных неравенств
3
-1
3

Нули функции.
x
y
A
На рисунке изображен график функции y=2x2+3x-2. Вычислите абсциссу точки А
Ответ: - 2

На каком рисунке изображен график этой функции, если известно, что >o, и квадратный трехчлен имеет два корня разных знаков?
Дана квадратичная функция
1)
2)
3)
4)

Y=1-x2
x+4=0
x+y=4
y+10=0
На рисунке изображены парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая имеет два решения.
x
y

Обратная пропорциональность y=k/x
K>0
K<0
x
x
y
y

3 4 1

Каждый график соотнести с соответствующей ему формулой
Ответ:
1.
2.
3.
4.
б г а в
x
x
x
x
y
0
1
y
y
y

2 3 1

16.
Ответ: 220 мин

Алексей (А) и Виктор соревновались в 50-метровом бассейне на дистанции 100 метров. Графики их заплывов показаны на рисунке. По горизонтальной оси отложено время (в секундах), а по вертикали – расстояние пловца от старта (в метрах). Кто быстрее проплыл первую половину дистанции и на сколько секунд он обогнал соперника?
S
40 80 120 160 200 t
50
40
30
20
10
А
В
Ответ: Алексей на 40 секунд.

0 1 2 3 4
t(ч)
S(км)
100
80
60
40
20
На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта А в пункт В и обратно. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всем пути.
Ответ: 40 км/ч

Постройте график функции
и определите, при каких значениях с прямая у=с не имеет с графиком ни одной общей точки.
x
y
Ответ: с=4

Свойства функции.
1. Область определения функции – множество значений аргумента, для которых функция имеет смысл. Обозначается .
Задача. Найти область определения функции
и построить её график.
Упростим выражение
x
Строим график функции
Y
Выкалываем точку с абсциссой 2
2

2. Область значений, ограниченность.
Область значений – множество значений функции, обозначается
Функция ограничена снизу, если для любого
выполняется неравенство
где –некоторое число.
,
Функция ограничена сверху, если для любого
выполняется неравенство
,
где –некоторое число.
Функция называется ограниченной, если для любого
выполняется неравенство
где –некоторые числа.

Функция задана графиком, на области определения [-3;7], найдите её наименьшее и наибольшее значения, укажите
x
y
Наименьшее значение
Наибольшее значение

3. Нули функции,
промежутки знакопостоянства.

4. Монотонность функции.
Функция называется возрастающей на множестве Х, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Функция называется убывающей на множестве Х, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Функцию, возрастающую на множестве Х или убывающую на множестве Х, называют монотонной функцией на множестве Х.

Задача. По графику функции, область определения которой [-6,7], укажите промежутки монотонности функции.
Х
-3
1
3
6
7
Функция возрастает
Функция убывает

5. Четность и нечетность функций.
Функция называется четной, если для любого
верно равенство
Функция называется нечетной, если для
любого верно равенство
Область определения четной и нечетной функции есть множество симметричное относительно нуля
График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат

Задача. Дан фрагмент графика нечетной функции которая определена на [-7;7] достройте график и заполните пропуски.
x
y
на
на
возрастает на
Убывает на

Задача. Определите какие из функций, графики которых даны на чертежах являются четными, нечетными, а какие не обладают ни одним из этих свойств.
x
y
x
x
x
x
x
y
y
y
y
y
1
2
3
4
5
6
Четные
1, 4
Нечетные
2, 3

При каких значениях p прямая y=p имеет три общие точки с графиком функции y=f(x), где
Построение графика кусочной функции и её исследование.

X -6 -3 -2 -1
Y -1 -2 -3 -6
-2
X -2 6
Y -3 7
Xв=4 yв=-2
2
x
y

При каких значениях p прямая y=p имеет три общие точки с графиком функции y=f(x), где
Точек нет
Одна точка
Две точки
Три точки
Четыре точки
Три точки
Две точки
Одна точка
Ответ: при Р=-2 и при 0

Исследование функции.
Нули функции
3. Промежутки возрастания
4. Промежутки убывания
2. Промежутки знакопостоянства

Тест по теме функции и графики
№1

№2

№3

№4

№5

№6

№7