Геометрические вероятности

a
Предполагается, что вероятность попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.
Внутри круга радиусом R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата:

Сумма всех трех отрезков равна L, поэтому каждый из отрезков должен быть меньше L/2.
На отрезке АО длины L числовой оси Ох наудачу поставлены две точки: В(х) и С(у). Найти вероятность того, что из трех получившихся отрезков можно построить треугольник.
Решение:
Для того чтобы из трех отрезков можно было построить треугольник, каждый из отрезков должен быть меньше суммы двух других.
№1

1. Пусть точка С расположена правее точки В.
Как указано выше должны выполняться неравенства:
или
или

Таким образом заштрихованные треугольники можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой благоприятствуют интересующему нас события ( из трех отрезков можно построить треугольник). Искомая вероятность:
1.
х = L/2
у = L/2
у = х - L/2
у = х + L/2
Е
К
Н
F
М
2.
Ответ:1/4

В сигнализатор поступают сигналы то двух устройств, причем поступление каждого из сигналов равновозможно в любой момент промежутка времени длительностью Т. Моменты поступления сигналов независимы один от другого. Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t (t < T). Найдите вероятность того, что сигнализатор срабатывает за время Т, если каждое из устройств пошлет по одному из сигналов.
Решение:
№2

Сигнализатор срабатывает, если разность между моментами поступления сигналов меньше t, т.е., если у –х < t при у > х и х – у < t при х > у, или, что то же,
у < х + t при у > х,
у > х - t при у < х.
Как видно из рисунка, все точки, координаты которых удовлетворяют этим неравенствам принадлежат заштрихованному шестиугольнику. Таким образом, этот шестиугольник можно рассматривать как фигуру g, координаты точек которой являются благоприятствующими срабатыванию сигнализатора моментами времени х и у.

№3
В круг радиуса R вписан правильный треугольник. Внутрь круга наугад брошены четыре точки. Найти вероятности следующих событий:
а) все четыре точки попадут внутрь треугольника;
б) одна точка попадет внутрь треугольника и по одной точке попадет на каждый «малый сегмент».
Вероятность попадания четырех точек в треугольник равна:
Вероятность попадания одной точки в треугольник равна: