Интеграл.Первообразная

Дети часто задают, казалось бы, совсем глупые и ненужные вопросы… Но даже самому прилежному ученику потребуется время, чтобы ответить на заданные вопросы в области математики.
А что нам сможет рассказать сказочный герой?

О великой, загадочной и таинственной науке Математике, а также великих ученых нам расскажет интересный персонаж - Интеграл Интегралович. Ведь кто, как не он знает больше о своем происхождении, жизненном пути, деятельности, вкладе в развитие наук?!

Мудрый дедушка Интеграл! Расскажи нам немного о себе. Нам интересно знать , откуда ты родом, кто твои «родители», чем ты занимаешься…

Хорошо ребята! Расскажу я вам немного о себе!...

История интегрирования
В конце XVII в., когда развитие науки шло быстрыми темпами, появились понятия дифференцирование, а вслед за ним и интегрирование.
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача.
Символ ∫ введен Лейбницем (1675 г.). Этот знак является изменением латинской буквы S (первой буквы слова summa)., а вопросами интегрального исчисления занимаются с 1696г. Хотя интеграл изучают, в основном, ученые–математики, но и физики внесли свой вклад в эту науку.

само слово интеграл придумал Я. Бернулли (1690 г.). Вероятно, оно происходит от латинского integro, которое переводится как приводить в прежнее состояние, восстанавливать.
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи на вычисление площадей. Латинское слово quadratura переводится как “придание квадратной формы”.
Я. Бернулли

Употребляющееся сейчас название первообразная функция заменило более раннее «примитивная функция», которое ввел Лагранж (1797 г.). Латинское слово primitivus переводится как «начальный»: F(x) = ∫ f(x)dx ­ начальная (или первоначальная, или первообразная) для f(x), которая получается из F(x) дифференцированием.
Жозеф Луи Лагранж

В современной литературе множество всех первообразных для функции f(х) называется также неопределенным интегралом. Это понятие выделил Лейбниц, который заметил, что все первообразные функции отличаются на произвольную постоянную.

Таблица интегралов

Интеграл функции — аналог суммы последовательности. Неформально говоря, (определённый) интеграл является площадью части графика функции (в пределах интегрирования), то есть площадью криволинейной трапеции.
Первообра́зной или примитивной функцией функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f.
Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Свойства первообразной
Первообразная суммы равна сумме первообразных
Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции является непрерывность на этом отрезке
Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Типы интегралов
Кратный интеграл
Криволинейный интеграл
Поверхностный интеграл
По области интегрирования
Определённый интеграл
Неопределённый интеграл
Интеграл Римана и Римана — Стилтьеса
Интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса
Интеграл Даниэля

Интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.
Таким образом, мы должны знать, что Интеграл Интегралович один из важных членов семьи великой науки Математики!