ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Правило Лопиталя
Рассмотрим отношение двух функций
Будем говорить, что это отношение при есть неопределенность вида
если

Если существует
то вычисление этого предела называют раскрытием упомянутой неопределенности.

Неопределенность вида
В случае когда функции
стремятся к бесконечности при , также применимо правило Лопиталя.
Справедливо правило Лопиталя и для функций стремящихся к бесконечности при :

Пример. Вычислить пределы:
Решение.

Решение.

Решение.

Точка называется точкой локального максимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство
Точка называется точкой локального минимума функции f(x), если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство
Экстремум функции

Общий термин для локального максимума и локального минимума – локальный экстремум.
Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции: для того чтобы дифференцируемая функция f(x) имела в точке локальный экстремум, необходимо, чтобы в этой точке выполнялось равенство

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими (или стационарными).

Первое достаточное условие экстремума
Пусть функция f(x) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку, и дифференцируема во всех точках этого интервала, кроме, может быть, самой точки . Если при переходе через точку производная меняет знак с «плюса» на «минус», то в точке имеется локальный максимум, а если с «минуса» на «плюс», то минимум.

Исследование функции на экстремум с помощью первой производной
1. Найти производную
2. Найти критические точки.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии локальных экстремумов функции.
4. Найти значения функции в точках локального экстремума.

Пример. Исследовать функцию на экстремум:
Решение.
Найдем производную:
- критические точки

Исследуем знак производной:
- точки локального минимума;
- минимальные значения функции;

точка локального максимума,
- максимальное значение функции в этой точке.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Наибольшее или наименьшее значение функции может достигаться как в точках локального экстремума, так и на концах отрезка.

Схема для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке:
1. Найти производную
2. Найти критические точки.
3. Найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Пример.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке [ -3, 1].
Решение.
Стационарные точки:

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
Кривая y=f(x) имеет на (a; b) выпуклость, направленную вверх, если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.
Кривая y=f(x) имеет на (b; c) выпуклость, направленную вниз, если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Если функция y= f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную и
на (a; b), то график этой функции имеет на (a; b) выпуклость, направленную вниз; если же ,
на (a; b), то график имеет на (a, b) выпуклость, направленную вверх.

Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.
Необходимое условие перегиба в точке для графика функции f(x), имеющей в этой точке непрерывную вторую производную, заключается в том, что

Достаточным условием перегиба является смена знака второй производной функции y=f(x) при переходе через точку (т.е.если вторая производная имеет разные знаки слева и справа от , то график функции имеет перегиб при

Асимптоты
Прямая линия называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от точки M, лежащей на графике, до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки M от начала координат.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные .
Прямая x=a называется вертикальной асимптотой графика
функции y=f(x), если хотя бы одно из предельных значений или
равно или

Прямая y=b называется горизонтальной асимптотой графика функции y=f(x) при
если

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции y=f(x) при
если f(x) можно представить в виде
где при

Пример.
Найти наклонную асимптоту графика функции
Решение.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид:

Уравнение наклонной асимптоты:

Пример.
Найти асимптоты графика функции
Решение.
x = 1 – вертикальная асимптота.
Горизонтальных асимптот нет.

Найдем наклонную асимптоту:

– наклонная асимптота.