ИСТОРИЯ ЧИСЕЛ

Вопросы:
Понятие системы счисления
Позиционные и непозиционные системы счисления
Алфавит и основание системы счисления

ДРЕВНИЙ ЕГИПЕТ
III ТЫС. ЛЕТ ДО Н.Э.
ИЕРОГЛИФЫ

Система счисления – совокупность правил наименования и изображения чисел с помощью набора символов

3252
=
Величина числа, не зависит от положения (позиции) знака в записи числа

СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ ДРЕВНЕГО ЕГИПТА -
НЕПОЗИЦИОННАЯ

ДРЕВНИЙ РИМ
2,5 ТЫС. ЛЕТ НАЗАД

РИМСКИЕ ЦИФРЫ
I - 1
V - 5
X – 10
L - 50
C - 100
M - 1000

I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Centum – 100
Demimille – 500
Mille -1000

В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. Если слева записана цифра меньшая, чем справа, то их значения вычитаются, если справа-складываются.
VI = 5 + 1 = 6,
IV = 5 - 1 = 4
MCMXCVIII = 1000 + (1000-100) + (100-10) + 5 + 1+ 1 + 1 = 1998

СЛАВЯНСКИЙ ЦИФРОВОЙ АЛФАВИТ

1
=

ТЫСЯЧИ

« ТЬМА »

« ЛЕГИОНЫ »

« ЛЕОРДЫ »

« ВОРОНА »

« КОЛОДА »

1000 Рублей
100 Рублей
10 Рублей
1 рубль
10 копеек
1 копейка

1232
рубля
24
копейки

ДРЕВНИЙ ВАВИЛОН
III ТЫС. ЛЕТ ДО Н.Э.
КЛИНОПИСЬ

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
ПОЗИЦИОННЫЕ
НЕПОЗИЦИОННЫЕ
римская
десятичная
двоичная
восьмеричная
16 - ричная

ИНДИЯ V-VII B.B.
ОСНОВАНИЕ
10-ЧНОЙ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

АРАБСКИЕ ЦИФРЫ

ОДИН ИЗ ВАРИАНТОВ НАПИСАНИЯ ДЕСЯТИЧНЫХ ЦИФР В ЕВРОПЕ

ПОЗИЦИОННЫЕ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Величина числа зависит от позиции цифры в числе
77710= 7*102 + 7*101 + 7*100
1012 = 1*22 + 1*21 + 1*20

АЛФАВИТ
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
МНОЖЕСТВО (ЗНАКОВ) ЦИФР
ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В НЕЙ

ОСНОВАНИЕ СС -
ЭТО КОЛИЧЕСТВО ЗНАКОВ, ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ДЛЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ ЦИФР В ДАННОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА
ОСНОВАНИЕ: 2
АЛФАВИТ: 0 , 1

ТРОИЧНАЯ СИСТЕМА
ОСНОВАНИЕ: 3
АЛФАВИТ: 0 , 1 , 2

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА
ОСНОВАНИЕ: 8
АЛФАВИТ:
0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА
ОСНОВАНИЕ: 16
АЛФАВИТ:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B , C, D, E, F

?
Вопрос учащимся: Как изменятся числа 172,3410 и 101,112 при перенесении запятой вправо на один (два) знак? Влево на один (два) знака?

Базис
Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры по её месту в записи числа, т.е. «вес» каждого разряда.

Пример. Выпишем базисы некоторых систем счисления.
Десятичная система: …, 0,001, 0,01, 1, 10, 102, 103, 104, ..., 10n, ...
Двоичная система: …,1/4, 1/2, 1, 2, 22, 23, 24, ..., 2n, ...
Восьмеричная система: …1/64, 1/8, 1, 8, 82, 83, 84, ..., 8n, ...
Базисы приведенных систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями 10, 2 и 8.

Традиционные системы счисления.
В более общем виде для традиционных позиционных систем счисления базис можно записать в виде:
…, P-3 , P-2 , P-1 , 1 , P, P2 , PЗ ,…,Pn , …

Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основание системы счисления.
Позиционные системы счисления с основанием Р будем называть
Р-ичными.

Нетрадиционные системы:
Пример базисов нетрадиционных систем:
Факториальная система: 1!, 2!, 3!, 4!, …, (n-1)!, n!, …(основана на определении факториала)
Фибоначчиева система: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …(каждое следующее число равно сумме предыдущих двух).

Применение двоичной системы счисления создает большие удобства для работы ЭВМ:
для реализации двоичной системы счисления нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями;
при кодировании информации в двоичной системе наиболее просто технологически реализуются электронные схемы, выполняющие операции над числами ;
представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостатки двоичной системы счисления:
Необходимость и трудоемкость перевода чисел из 10-ной СС при вводе информации и при выводе результатов.
Неэкономичность записи чисел, двоичная система требует больше разрядов, чем запись того же числа в других системах. (Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление).

Практическая работа
«Ознакомление с различными системами счисления»

Подведем итоги:
Вопросы:
Почему, как вы думаете, для кодирования информации в компьютере используется двоичная система счисления?
Есть ли недостаток двоичного кодирования?
Как вы думаете, с какой целью в компьютере используются 8-ричная и 16-ричная система счисления?