История формализации математических оснований

Некоторые апории (парадоксы)
Апории Зенона
Быстроногий АхиллесБыстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху, если в начале движения черепаха находилась на некотором расстоянии от него.
Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, т. е. покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть, покоится всегда.
Пусть Гомер должен пройти путь из A в B.
Для того чтобы это сделать он сначала должен пройти половину, перед тем как пройти половину – он должен преодолеть половину от половины и т.д. (Дихотомия)

Парадокс лжеца
Платон: «Следующее высказывание Сократа будет ложным».
Сократ: «То, что сказал Платон, истинно».
Закон исключающего третьего
Предложения такого рода принципиально не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты в пределах того языка, на котором они изложены.

Аристотель
называемый также Стагирит по месту рождения (384 по месту рождения (384, Стагир по месту рождения (384, Стагир — 322 до н. э. по месту рождения (384, Стагир — 322 до н. э., полуостров Халкидика по месту рождения (384, Стагир — 322 до н. э., полуостров Халкидика в Македонии)
Органон
Логическую дедукцию можно выразить посредством правил построения вывода (силогизм)
Всякое B есть A
C есть B
? C есть A
Все люди смертны.
Гёдель человек.
Гёдель смертен.

Евклид
или Эвклид, (др.-греч., (др.-греч. Ευκλείδης) — древнегреческий математик, (др.-греч. Ευκλείδης) — древнегреческий математик, живший, согласно Проклу, (др.-греч. Ευκλείδης) — древнегреческий математик, живший, согласно Проклу, во время правления Птолемея I, (др.-греч. Ευκλείδης) — древнегреческий математик, живший, согласно Проклу, во время правления Птолемея I, он моложе учеников Платона, (др.-греч. Ευκλείδης) — древнегреческий математик, живший, согласно Проклу, во время правления Птолемея I, он моложе учеников Платона и старше Архимеда, (др.-греч. Ευκλείδης) — древнегреческий математик, живший, согласно Проклу, во время правления Птолемея I, он моложе учеников Платона и старше Архимеда и Эратосфена, (др.-греч. Ευκλείδης) — древнегреческий математик, живший, согласно Проклу, во время правления Птолемея I, он моложе учеников Платона и старше Архимеда и Эратосфена. По наиболее распространенной версии Евклид работал в Александрии, (др.-греч. Ευκλείδης) — древнегреческий математик, живший, согласно Проклу, во время правления Птолемея I, он моложе учеников Платона и старше Архимеда и Эратосфена. По наиболее распространенной версии Евклид работал в Александрии в III веке до н. э.
Элементы
Можно ли сократить геометрию до небольшого числа аксиоматических правил и на их основе построить оставшиеся утверждения

Ньютон
Сэр Исаак Ньютон (англ. Sir Isaac Newton, 25 декабря, 25 декабря 1642, 25 декабря 1642 — 20 марта, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643 — 31 марта, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643 — 31 марта 1727, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643 — 31 марта 1727 по григорианскому календарю, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643 — 31 марта 1727 по григорианскому календарю) — великий английский, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643 — 31 марта 1727 по григорианскому календарю) — великий английский физик, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643 — 31 марта 1727 по григорианскому календарю) — великий английский физик, математик, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643 — 31 марта 1727 по григорианскому календарю) — великий английский физик, математик и астроном, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643 — 31 марта 1727 по григорианскому календарю) — великий английский физик, математик и астроном. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии, 25 декабря 1642 — 20 марта 1727 по юлианскому календарю, использовавшемуся в Англии в то время; или 4 января 1643 — 31 марта 1727 по григорианскому календарю) — великий английский физик, математик и астроном. Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии» (лат. Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), в котором он описал закон всемирного тяготения), в котором он описал закон всемирного тяготения и так называемые Законы Ньютона), в котором он описал закон всемирного тяготения и так называемые Законы Ньютона, заложившие основы классической механики), в котором он описал закон всемирного тяготения и так называемые Законы Ньютона, заложившие основы классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление, теорию цветности и многие другие математические и физические теории.
Newton (1687): Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica
Мы можем приблизить движение объектов (включая планеты) при помощи аксиом (законов) механики

Демон Лапласа
Демон Лапласа — мысленный эксперимент — мысленный эксперимент 1814 — мысленный эксперимент 1814 года математика — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа, вымышленный демон — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа, вымышленный демон, обладающий способностью, восприняв в любой данный момент времени — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа, вымышленный демон, обладающий способностью, восприняв в любой данный момент времени положение — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа, вымышленный демон, обладающий способностью, восприняв в любой данный момент времени положение и скорость — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа, вымышленный демон, обладающий способностью, восприняв в любой данный момент времени положение и скорость каждой частицы — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа, вымышленный демон, обладающий способностью, восприняв в любой данный момент времени положение и скорость каждой частицы во Вселенной — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа, вымышленный демон, обладающий способностью, восприняв в любой данный момент времени положение и скорость каждой частицы во Вселенной, узнавать её эволюцию — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа, вымышленный демон, обладающий способностью, восприняв в любой данный момент времени положение и скорость каждой частицы во Вселенной, узнавать её эволюцию как в будущем — мысленный эксперимент 1814 года математика Пьера-Симона Лапласа, вымышленный демон, обладающий способностью, восприняв в любой данный момент времени положение и скорость каждой частицы во Вселенной, узнавать её эволюцию как в будущем, так и в прошлом. Лаплас придумал это вымышленное существо для наглядной демонстрации степени нашей неосведомленности и необходимость в статистическом описании некоторых реальных процессов в окружающем мире.
Проблематика демона Лапласа связана не с вопросом о том, возможно ли детерминистическоеПроблематика демона Лапласа связана не с вопросом о том, возможно ли детерминистическое предсказание хода событий в действительности, а в том, возможно ли оно de jureПроблематика демона Лапласа связана не с вопросом о том, возможно ли детерминистическое предсказание хода событий в действительности, а в том, возможно ли оно de jure. Именно такая возможность заключена в механистическом описании с его характерным дуализмомПроблематика демона Лапласа связана не с вопросом о том, возможно ли детерминистическое предсказание хода событий в действительности, а в том, возможно ли оно de jure. Именно такая возможность заключена в механистическом описании с его характерным дуализмом, основанным на динамическом законе и начальных условиях. То, что развитием динамической системы управляет детерминистический закон (хотя на практике наше незнание начальных состояний исключает всякую возможность детерминистических предсказаний), позволяет «отличать» объективную истину о системе, какой она представлялась бы демону Лапласа, от эмпирических ограничений, вызванных нашим незнанием.
В контексте классической динамикиВ контексте классической динамики детерминистическое описание может быть недостижимым на практике, тем не менее оно остается пределомВ контексте классической динамики детерминистическое описание может быть недостижимым на практике, тем не менее оно остается пределом, к которому должна сходиться последовательность все более точных описаний.

Парадокс Монти Холла
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козыПредставьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор ?

после того, как ведущий открыл дверь, за которой находится коза, автомобиль может быть только за одной из двух оставшихся дверей. Поскольку игрок не может получить никакой дополнительной информации о том, за какой дверью находится автомобиль, то вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей одинакова, и изменение первоначального выбора двери не дает игроку никаких преимуществ. Однако такой ход рассуждений неверен. Если ведущий всегда знает, за какой дверью что находится, всегда открывает ту из оставшихся дверей, за которой находится коза, и всегда предлагает игроку изменить свой выбор, то вероятность того, что автомобиль находится за выбранной игроком дверью, равна 1/3, и, соответственно, вероятность того, что автомобиль находится за оставшейся дверью, равна 2/3. Таким образом, изменение первоначального выбора увеличивает шансы игрока выиграть автомобиль в 2 раза. Этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации большинством людей, поэтому описанная задача и называется парадоксом Монти Холла.

Парадокс Рассела
Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

теория Цермело — Френкеля ZF, теория Неймана — Бернайса — Гёделя NBG и др.
ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости

Решение по Гёделю
Все полные аксиоматические формализации теории чисел включают неразрешимые предложения.

Что же такое числа?
Бесконечные числа: 1+a=a
Континуум
Кардинальные и ординальные числа
Конструктивизм и интуитивизм математики (философии)
Как можно описать детерминизм в вычислительных машинах?

Давид Гильберт

23 Проблемы Гильберта : 1-ая
Проблема Кантора о мощности континуума
(Континуум-гипотеза) = нет консенсуса
Результаты Гёделя и Коэна (Cohen) показывают, что ни континуум-гипотеза, ни её отрицание не противоречит системе аксиом Цермело — Френкеля (стандартной системе аксиом теории множеств). Таким образом, континуум-гипотезу в этой системе аксиом невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Ведутся споры о том, является ли результат Коэна полным решением задачи.

2-ая: Непротиворечивость аксиом арифметики
нет консенсуса
Курт Гёдель Курт Гёдель доказал что непротиворечивость аксиом арифметики нельзя доказать исходя из самих аксиом арифметики (теорема о неполноте - 1931)

8-ая :Проблема простых чисел
Проблема Гольдбаха
Гипотеза Римана

Курт Гёдель
ГЁДЕЛЬ, КУРТ (Gödel, Kurt) (1906–1978), австрийский математик. Родился 28 апреля 1906 в Брно. В 1924 поступил в Венский университет, в 1930 защитил докторскую диссертацию по математике. В 1933–1938 – приват-доцент Венского университета; в 1940 эмигрировал в США. С 1953 и до конца жизни – профессор Принстонского института перспективных исследований.

1931: публикует Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme
1939: покидает Венну
Institute for Advanced Study, Princeton

В 18 лет Гёдель поступил в Венский университет. Там он два года изучал физику, но затем переключился на математику.
Обычно Гёделя считают авcтрийцем, но за свою жизнь он неоднократно менял гражданство. Рождённый подданным Австро-Венгрии, он в 12 лет принял гражданство ЧехословакииОбычно Гёделя считают авcтрийцем, но за свою жизнь он неоднократно менял гражданство. Рождённый подданным Австро-Венгрии, он в 12 лет принял гражданство Чехословакии после того, как Австро-Венгерская империя прекратила своё существование. В 23 года Гёдель стал гражданином АвстрииОбычно Гёделя считают авcтрийцем, но за свою жизнь он неоднократно менял гражданство. Рождённый подданным Австро-Венгрии, он в 12 лет принял гражданство Чехословакии после того, как Австро-Венгерская империя прекратила своё существование. В 23 года Гёдель стал гражданином Австрии, а в 32 года, после захвата Австрии ГитлеромОбычно Гёделя считают авcтрийцем, но за свою жизнь он неоднократно менял гражданство. Рождённый подданным Австро-Венгрии, он в 12 лет принял гражданство Чехословакии после того, как Австро-Венгерская империя прекратила своё существование. В 23 года Гёдель стал гражданином Австрии, а в 32 года, после захвата Австрии Гитлером автоматически стал подданным германского РейхаОбычно Гёделя считают авcтрийцем, но за свою жизнь он неоднократно менял гражданство. Рождённый подданным Австро-Венгрии, он в 12 лет принял гражданство Чехословакии после того, как Австро-Венгерская империя прекратила своё существование. В 23 года Гёдель стал гражданином Австрии, а в 32 года, после захвата Австрии Гитлером автоматически стал подданным германского Рейха. По окончании Второй Мировой войныОбычно Гёделя считают авcтрийцем, но за свою жизнь он неоднократно менял гражданство. Рождённый подданным Австро-Венгрии, он в 12 лет принял гражданство Чехословакии после того, как Австро-Венгерская империя прекратила своё существование. В 23 года Гёдель стал гражданином Австрии, а в 32 года, после захвата Австрии Гитлером автоматически стал подданным германского Рейха. По окончании Второй Мировой войны он переселился в США и принял американское гражданство.
К концу жизни у Геделя развилось психическое расстройство — параноидальный страх отравления. Он принимал пищу только из рук жены Адели, а после ее смерти в 1977К концу жизни у Геделя развилось психическое расстройство — параноидальный страх отравления. Он принимал пищу только из рук жены Адели, а после ее смерти в 1977 г. отказался от пищи. Учёный скончался от недоедания 14 январяК концу жизни у Геделя развилось психическое расстройство — параноидальный страх отравления. Он принимал пищу только из рук жены Адели, а после ее смерти в 1977 г. отказался от пищи. Учёный скончался от недоедания 14 января 1978 г. в ПринстонеК концу жизни у Геделя развилось психическое расстройство — параноидальный страх отравления. Он принимал пищу только из рук жены Адели, а после ее смерти в 1977 г. отказался от пищи. Учёный скончался от недоедания 14 января 1978 г. в Принстоне, штат Нью-Джерси.

Первая теорема Гёделя о неполноте
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), существует такая замкнутая формула F, что ни F, ни не (отрицание) F не являются выводимыми в этой теории.

Вторая теорема Гёделя о неполноте
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Аксиома выбора
«Для каждого семейства A непустых непересекающихся множеств существует множество B, имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств X, принадлежащих A»

Континуум-гипотеза
Любое бесконечное подмножество континуума является либо счётнымЛюбое бесконечное подмножество континуума является либо счётным, либо континуальным
Обобщённая континуум-гипотеза утверждает, что для любого бесконечного множества S не существует таких множеств, кардинальное число которых больше, чем у S, но меньше, чем у множества всех его подмножеств 2S.

Тьюринг
Мемориальная доска, установленная на стене одной из лондонских гостиниц, гласит: "Здесь родился Алан Тьюринг (1912 — 1954), взломщик кодов [Code-breaker] и пионер информатики [computer science] «
Машина Тьюринга
“Minds and Computers”, AI: Turing test

Джон вон Нейман
сделавший важный вклад в квантовую физику сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен как праотец современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен как праотец современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применением теории операторов сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен как праотец современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применением теории операторов к квантовой механике сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен как праотец современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применением теории операторов к квантовой механике (см. Алгебра фон Неймана сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен как праотец современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применением теории операторов к квантовой механике (см. Алгебра фон Неймана), а также как участник Манхэттенского проекта сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен как праотец современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применением теории операторов к квантовой механике (см. Алгебра фон Неймана), а также как участник Манхэттенского проекта и как создатель теории игр сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен как праотец современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применением теории операторов к квантовой механике (см. Алгебра фон Неймана), а также как участник Манхэттенского проекта и как создатель теории игр и концепции сделавший важный вклад в квантовую физику, функциональный анализ, теорию множеств, информатику, экономику и другие отрасли науки. Наиболее известен как праотец современной архитектуры компьютеров (так называемая архитектура фон Неймана), применением теории операторов к квантовой механике (см. Алгебра фон Неймана), а также как участник Манхэттенского проекта и как создатель теории игр и концепции клеточных автоматов

А. А. Марков (младший)
Основные труды по теории динамических систем, топологииОсновные труды по теории динамических систем, топологии, топологической алгебре, теории алгоритмовОсновные труды по теории динамических систем, топологии, топологической алгебре, теории алгоритмов и конструктивной математике
LOGIC and COMPUTABILITY

А. Н. Колмогоров
Современная ТВ; результаты в топологииСовременная ТВ; результаты в топологии, математической логикеСовременная ТВ; результаты в топологии, математической логике, теории турбулентностиСовременная ТВ; результаты в топологии, математической логике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов и пр.
Аксиоматика Колмогорова
Двойственность Колмогорова
Неравенство Колмогорова
Колмогоровская сложность
Среднее Колмогорова