Классическая теория вероятности

Актуальность
Актуальность изучения данной темы заключается в том, что некоторые задачи, которые ставит перед нами реальная жизнь нельзя решить без знаний основ теории вероятности. Человечество еще в 18 веке обнаружило, что каждое случайное событие при неоднократном повторении подвластно объективному закону. Изучение этих закономерностей и легло в основу теории вероятностей. Комбинаторика же является введением в теорию вероятностей. Методы комбинаторики помогают осуществить подсчет числа возможных и благоприятных исходов в разных конкретных ситуациях. Вероятностный и статистический метод применяется в самых разнообразных отраслях науки, техники и народного хозяйства.

Истинная логика нашего мира – правильный подсчет вероятностей.
(Джеймс Максвелл)
Теория вероятностей родилась как отвлетвление математики в переписке между Паскалем и Ферма в 17 веке. В своих письмах они спорили по многим вопросам, связанные с азартными играми. Все началось с игры кости.
Слово «азарт» под которым понимается сильное увлечение, горячность, означает «случай», «азарт».
Случай, случайность с нами встречается повседневно: случайная поломка, случайная встреча, случайная находка, случайная ошибка.
Азартными называются те игры, в которых выигрыш зависит не от умения игрока, а от случайности. За азартными играми стоит целая математическая теория вероятности.
В задачах, которые будем решать числитель и знаменатель очевидными.

«…Все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано».
Н. И. Лобачевский
Р(A) - обозначение вероятности
m-число благоприятных исходов
n-число всех возможных исходов

Свойство вероятности:
1) Вероятность достоверного события равна 1
2) Вероятность невозможного события равна 0
3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству

Примеры
1. На экзамене -24 билета. Андрей не разобрался в одном билете и очень боится его вытянуть. Какова вероятность, что Андрею достанется несчастный билет?
2. В лотереи 10 выигрышных билетов и 240 билетов без выигрыша. Какова вероятность выиграть в эту лотерею, купив один билет?
3. В лотереи 100 билетов, из них 5 выигрышных. Какова вероятность проигрыша?
4. В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным ?

Ответы:
1)А- достанется несчастливый билет
n=24;
m =1, тогда Р(А)=1/24
2) А- выиграть
Исходов всего 240+10=250;
Шансы=10; Р(А)= 10/250=1/25
3) А- проиграть:
Исходов 100;
Шанс =100-5=95, тогда Р(А)=95/100=19/20
4) N=10; М=6; А- Извлечение белого шара P(A)=6/10=0,6
N=10; М=6; А- Извлечение белого шара P(A)=4/10=0,4

Основное понятие
Итак, игральная кость – это кубик с 6 гранями ( с очками 1 2 3 4 5 и 6).
Вопрос: Что предполагается с ней сделать?
Бросить кубик, означает сделать эксперимент, зависящий от случая, им правит авось.

Игральные кости
Задача 1.
В случайном эксперименте бросают игральную кость.
Какова вероятность того, что выпадет:
а) очко 1 2 3 4 5 или 6?
Одинаковая вероятность событий называется равновероятными.
б) четное очко?
в) очко больше 4?
г) очко меньше 5?

Задача 1.
Решение:
2 4 6
Р(3)=3/6=1/2
5 6
Р(2)=2/6=1/3
1 2 3 4
Р=4/6=2/3

Задача2.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что:
а) в сумме выпадет 6 очков?
1 1 2 3 4 5 6
2 1 2 3 4 5 6
3 1 2 3 4 5 6
4 1 2 3 4 5 6
5 1 2 3 4 5 6
6 1 2 3 4 5 6
б) в сумме 2 очка?

Решение:
36 – всех исходов
1:5; 2:4; 3:3; 4:2; 5:1
5-благоприятных исхода
Р=5/36
1:1
Р=1/36

II монеты
Простейший, и наверное известный источник событий – это игра «орлянка». Монету подбрасывают и смотрят, какая из ее сторон «орел» или «решка».
Задачи:
1.Бросают одну монету. С какой вероятностью на ней выпадет решка?
2.Бросают две монеты . Какова вероятность того, что выпадет ровно один орел?
РР
РО
ОР
ОО

Правильное решение.
Орел, орел
Решка, решка
Орел, решка
Решка, орел
N = 4; N(A) = 2;
P(A) =2/4=1/2
Нельзя объединять два принципиально разных исхода один. Природа различает все предметы.

III Игральные карты
Игральные карты исторической родиной карт считается
Китай.
В колоде 36 карт, из них наугад выбирают карту. Какова вероятность того, что вынут:
а) король?
б) масти «пики»?
в) красной масти?
г) «картинка»: валет, дама, король и туз?

Решение:
Р=2/4=1/2
Р=4/36=1/9
Р=9/36=1/4
Р=18/36=1/2
Р=16/36=4/9

Задание 1.
Какие из следующих событий – случайные, достоверные, невозможные:
Курица научиться говорит;
вода в чайнике, стоящим на горячей плите закипит;
ваш день рождения – 19 апреля
день рождение вашего друга – 30 февраля;
вы выиграете участвуя в лотереи;
вы не выигрываете, участвуя в беспроигрышной лотереи;
вы проиграете партию в шахматы;
на следующей недели испортиться погода;
вы нажали на звонок, а он не зазвонил;
после четверга будет пятница;
после среды будет воскресенье.

Задание 2.
Для каждого из перечисленных событий определите, какое оно: достоверное, возможное, невозможное:
летом у школьников будут каникулы;
10 июля в Улан-Удэ будет солнечно;
после уроков дежурные уберут кабинет;
в 6-м классе школьники не будут изучать математику;
зимой выпадает снег;
при включении света, лампочка перегорит;
вы выходите на улицу, а на встречу вам идет слон.