Координатный метод в решении задач на плоскости

Координатный метод, возникновение которого обычно связывают с именем великого французского математика и философа Рене Декарта, жившего в первой половине 17 века, произвел настоящий переворот в геометрии и не только в ней.
Метод координат дает универсальный способ поставить в соответствие геометрическим объектам – фигурам, линиям, те или иные алгебраические соотношения. Иначе, метод координат – это способ перевода с геометрического языка на язык алгебры, после чего геометрические проблемы превращаются в алгебраические, и мы получаем возможность использовать для решения геометрических задач алгебраические методы.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Применение прямоугольных координат к решению задач
Задача1: Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.
Решение: 1. Пусть АВСD – данный параллелограмм. Введем систему координат так, как показано на рисунке. Если АD = ВС = а, а точка В имеет координаты (b; с), то D(а; 0), точка С(а + b; с).
2. Используя формулу расстояний между точками, находим АВ2 = b2 + с2, AD2 = a2, AC2 = (b + a)2 + c2,
BD2 = (a – b)2 +c2, тогда
AВ2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2(AB2 + AD2) =
2(a2 + b2 + c2)
AC2 + BD2 = (b + a)2 + c2 + (a – b)2 + c2 =
2(a2 + b2 + c2)
Таким образом, AВ2 + BC2 + CD2 + DA2 =
AC2 + BD2, что и требовалось доказать.
у
х
А(0; 0)
В(b; с)
С(b + а; с)
D(a; 0)

Задача 2: Медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.
Решение: 1. Пусть треугольник АВС – данный равнобедренный треугольник, АМ – медиана.
Введём систему координат таким образом, что М(0; 0), точка А лежит на оси Оу, основание ВС – на оси Ох. Так как ВС = 80 см, то В(-40; 0), С(40; 0); АМ = 160, значит, А(0; 160).
2. По формуле координат середины отрезка найдём середины двух других сторон треугольника:
Р – середина АС, Р(20; 80)
К – середина АВ, К(-20; 80)
3. Используя формулу расстояния между двумя точками, получаем, что ВР = √(-40 – 20)2 + (80 – 0)2 = 100 см, СК = √(-20 – 40)2 + 802 = 100 см
Ответ: ВР = СК = 100 см
у
х
А
Р
К
М
В
С

Задача 3: Докажите, что середины отрезков, соединяющих середины противолежащих сторон четырехугольника, совпадают.
Решение: 1. Пусть дан произвольный четырехугольник АВСD. Расположим его на координатной плоскости так, чтобы точка А совпала с началом координат, а В оказалась на оси х.
2. Введем координаты вершин данного четырехугольника: А(0; 0), В(а;0), С(m; n), D(p; q). Тогда координаты середин сторон четырехугольника будут следующие: Е(а/2; 0), F((m + p)/2; (n + q)/2), К((а + m)/2; n/2), Р(р/2; q/2).
3. Координаты середины М отрезка ЕF:
М((а + m + р)/4; (n + q)/4).
Координаты середины М1 отрезка КР:
М1 ((а + m + р)/4; (n + q)/4).
4. Координаты точек М и М1 совпадают. Значит, середина отрезка ЕF совпадает с серединой отрезка КР, что и требовалось доказать

Задача 4: На прямой l даны три точки А, В, С так, что точка В лежит между А и С. По одну сторону от прямой l построены равносторонние треугольники АМВ и ВNС. Докажите, что середина отрезка МС, середина отрезка NА и точка В являются вершинами равностороннего треугольника.
Решение: 1. Пусть Р – середина отрезка МС, а Q – середина отрезка АN.
2. Введем прямоугольную систему координат. Если
ВС = а, то легко убедиться в том, что вершины данных треугольников имеют координаты: А(0; 0), В(1; 0), С(1 + а; 0), М(1/2; √3/2), N(1+ а/2; √3а/2).
3. Определим координаты точек Р(х1 , у1) и
Q(х2 , у2):
х1 = (1/2 + 1 + а)/2 =(3 + 2а)/4, у1 = √3/4, т.е.
Р( (3 + 2а)/4; √3/4)
х2 = (2 + а)/4, у2 = √3а/4, т.е. Q((2 + а)/4; √3а/4).
4. Пользуясь формулой для вычисления длины отрезка по координатам концов, получаем:
ВQ = √((2 + а)/4 – 1)2 + (√3а/4 – 0)2 = √(а2 – а + 1)/2,
РQ = √((2 + а)/4 – (3 + 2а)/4)2 + (√3а/4 – √3/4)2 =
√(а2 – а + 1)/2,
РВ = √(1 – (3 + 2а)/4)2 + (0 – √3/4)2 = √(а2 – а + 1)/2,
т.е. ВQ = РQ = РВ.

Задачи на нахождение геометрических мест точек
Задача 5: Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.
Решение: 1. Введем прямоугольную систему координат так, что А(0; 0), В(а; 0), где а = АВ.
2. Найдём расстояние от произвольной точки М(х; у) до точек А и В: АМ = √х2 + у2 ; ВМ = √(х – а)2 + у2 .
3. Если точка М(х; у) принадлежит искомому множеству, то АМ = 2ВМ или АМ2 = 4ВМ2. Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению
х2 + у2 = 4((х – а)2 + у2). Если точка М(х; у) не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, полученное уравнение и есть уравнение искомого множества.
4. Преобразуя х2 + у2 = 4((х – а)2 + у2), 3х2 + 3у2 – 8ах + 4а2 = 0, получаем (х–(4/3)а)2 + у2 = ((2/3)а)2. То есть искомым множеством является окружность радиуса (2/3)а с центром в точке С((4/3)а; 0).
у
х
.
.
А(0; 0)
В(а; 0)
.
М

Задача 6: Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой m за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащен более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А 10 руб. на 1 км, а для предприятия В 20 руб. на 1 км. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделен рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?
Решение: Для решения данной задачи воспользуемся методом координат. Введем систему координат так, чтобы ось х проходила через пункты А и В, а ось у – через точку А.
Пусть М – произвольная точка,
М(х, у), s1и s2 – расстояния от точки М до предприятий А и В.

При доставке груза из пункта А расходы равны m + 10s1. При доставке груза из пункта В расходы равны m + 20s2. Если для пункта М выгоднее доставлять груз с предприятия А, то
m + 10s1< m + 20s2, откуда s1<2s2, в обратном случае получим s1>2s2.
Таким образом, границей области для каждой точки, до которой расходы на перевозку груза из пунктов А и В равны, будет множество точек плоскости, удовлетворяющих уравнению s1=2s2.
Выразим s1 и s2 через координаты: s1=√х2 + у2, s2=√(300-х)2 + у2.
Имея в виду s1=2s2, получим (х- 400)2 + у2=2002.
Это есть уравнение окружности. Следовательно, для всех пунктов, попадающих во внутреннюю область круга, выгоднее привозить груз из пункта В, а для всех пунктов, попадающих во внешнюю часть круга, - из пункта А.

Задача 7: Лестница, стоящая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котенок, сидящий на середине лестницы?
Решение: Выберем прямоугольную систему координат, где ось х находится на полу, а ось у – на стене. Допустим, что лестница имеет длину, равную 2а, тогда из рисунка видно, что точка М(х, у), находясь все время в середине лестницы, имеет координаты х=аcosα, y=asinα.
ОМ2 = х2 + у2 = (аcosα)2 + (asinα)2 = а2, т.е.
х2 + у2 = а2. Следовательно, котенок будет двигаться по дуге окружности

Применение аффинных координат к решению задач
Задача 8: Точки К и М делят стороны ВС и СD параллелограмма АВСD в отношении ВК:КС = 1:2, СМ:МD = 1:2. В каком отношении делятся отрезки АК и ВМ точкой пересечения?
Решение: 1. Введем аффинную систему координат с началом в точке В и координатными векторами е1 = ВА, е2 = ВС (рис. 45). Тогда точки К и М имеют координаты: К(0; 1/3), М(1/3; 1).
2. Составим уравнения прямых ВМ и АК, как прямых, проходящих через две точки. Уравнения прямых ВМ и АК имеют вид: ВМ: 3х –у = 0, АК: х + 3у – 1 = 0.
3. Найдем координаты точки Р пересечения этих прямых. Для этого решим оба уравнения в системе. Получим Р(0,1; 0,3).
4. Вычислим отношение λ, в котором точка Р делит отрезки КА и ВМ.
λ 1 = (х – х1)/(х2 – х) = (у – у1)/(у2 – у ) = (0,1 – 0)/(1 – 0,1) = 1/9, т.е. точка Р делит отрезок КА в отношении 1/9.
λ2 = (х – х1 )/(х2 – х ) = (у – у1)/(у2 – у ) = (0,1 – 0)/(1/3 – 0,1) = 3/7, т.е. точка Р делит отрезок ВМ в отношении 3/7.
х
у
С
М
D
A
B
K
P
е1
е2

Задача 9: На сторонах СК и СВ треугольника СКВ взяты соответственно точки Р и М, которые делят эти стороны в отношении: СР:РК = 3:2, СМ:МВ = 4:1. В каком отношении делят друг друга отрезки КМ и ВР?
Решение: 1. Введем аффинную систему координат с началом в точке С и координатными векторами е1 = СВ, е2 = СК, тогда вершины треугольника СКВ будут иметь координаты: С(0; 0), К(0; 1), В(1; 0) и Р(0;3/5), М(4/5; 0).
2. Найдем координаты точки О пересечения ВР и КМ. Для этого составим уравнения прямых ВР и КМ.
ВР: 3х + 5у – 3 = 0, КМ: 5х + 4у – 4 = 0.
Решив в системе уравнения, получим О(8/13; 3/13).
3. Вычислим отношение λ, в котором отрезки делят друг друга.
λ = (х – х1)/(х2 – х) = (у – у1)/(у2 – у) = (3/13 – 0)/(1 – 3/13) = 3/10, т.е.точка О делит отрезок МК в отношении 3/10.
λ = (х – х1)/(х2 – х) = (у – у1)/(у2 – у) = (8/13 – 1)/(0 – 8/13) = 5/8, т.е. точка О делит отрезок ВР в отношении 5/8.

Задача 10: (Теорема Менелая) Для того, чтобы три точки А1, В1, С1, лежащие соответственно на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС (или на их продолжениях), принадлежали одной и той же прямой, необходимо и достаточно, чтобы АС1 /ВС1 · ВА1 /СА1 · СВ1 /АВ1 = 1( символом АС1 /ВС1 назовем отношение направленных отрезков, лежащих на одной прямой, которое положительно, если они сонаправлены, и отрицательно, если они противоположно направлены; |АС1 /ВС1|=|АС1| / |ВС1|) .
Решение: 1. Введем аффинную систему координат с началом в точке А и координатными векторами е1 = АВ, е2 = АС.
2. Обозначим λ1, λ2, λ3 отношения такие, что АС1 = λ3С1В, ВА1 = λ1А1С, СВ1 = λ2В1А, и определим координаты точек А1, В1, С1. В выбранной системе координат вершины треугольника АВС будут иметь координаты А(0; 0), В(1;0), С(0; 1). Если А1(х1, у1), В1(х2, у2), С1(х3, у3), то
х1 = (1 + λ1∙0)/(1 + λ1) = 1/(1 + λ1),
у1 = (0 + λ1∙1)/(1 + λ1) = λ1 /(1 + λ1);
х2 = 0, у2 = 1/(1 + λ2); х3 = λ3 /(1 + λ3), у3 = 0.

3.Для того, чтобы точки А1, В1, С1 лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы
х1 у1 1
х2 у2 1 = 0
х3 у3 1
или
1/(1+λ1) λ1/(1+λ1) 1
0 1/(1+λ2) 1 = 0
λ3/(1+λ3) 0 1
откуда 1/(1 + λ1)(1 + λ2) + λ3 /(1+λ3) · [ λ1 /(1+λ1) – 1/(1+λ2)] = 0.
После элементарных преобразований получаем: λ1 · λ2 · λ3 + 1 = 0. Таким образом, АС1 /С1В ·ВА1 /А1С ·СВ1 /В1А = -1 или
АС1 /ВС1 ·ВА1 /СА1 ·СВ1 /АВ1 = 1.

Возможности использования метода координат в школьной практике
Использование координатного метода в школьной практике возможно:
На математических кружках, факультативах;
На индивидуальных занятиях с более увлеченными математикой учащимися;
В проектной деятельности.
Темы проектов с использованием координатного метода:
Аффинные координаты;
Деление отрезка в данном отношении;
Комплекс задач, связанных с нахождением суммы квадратов расстояний от произвольной точки окружности до вершин правильного многоугольника, которая постоянна, если центр окружности совпадает с центром многоугольника ( прил. 3).