Квадратные уравнения

Квадратное уравнение
Квадратным уравнением называется
уравнение вида
ах2 + bx + c = 0,
где а, b, с – числа, а ≠ 0, х – неизвестное.
3х2 - 2x + 7 = 0; -3,8х2 + 67 = 0;
18х2 = 0 .
Квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени с одним неизвестным.

Коэффициенты квадратного уравнения
Числа а, b и с называют коэффициентами квадратного уравнения.
ах2 + bx + c = 0,
старший второй свободный
коэффициент коэффициент член
3х2 + 4x - 8 = 0,
старший второй свободный
коэффициент коэффициент член

Неполное квадратное уравнение
Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называется неполным.
-11х2 = 0;
5х2 + 13х = 0;
-24х2 +1 = 0.

Виды неполных квадратных уравнений и их корни
ах2 + c = 0, где с ≠ 0.
Тогда
Если ,то корни
.
а)
б) -х2-4 = 0 х2 = -4 нет корней.
Если ,
то корней нет .

Виды неполных квадратных уравнений и их корни
2. ах2 + bx = 0, где b ≠ 0.
Тогда x ∙ (ax +b) = 0. Корни: х1 =0 и х2 = .
а) 2х2 + 7x = 0 x ∙ (2x +7) = 0
х = 0 или 2х + 7 = 0, т.е. х = .
Ответ: 0 и -3,5.
б) -х2 + 5x = 0 -x ∙ (x - 5) = 0 х = 0 или х = 5.
Ответ: 0 и 5.

Виды неполных квадратных уравнений и их корни
3. ах2 = 0
Имеем единственный корень х = 0 .
128х2 = 0 х2 = 0 х = 0.
-3,8х2 = 0 х2 = 0 х = 0.

Метод выделения полного квадрата
Решить уравнение х2 + 14x + 24 = 0.
Решение.
х2 + 14x + 24 = (х2 + 14x + 49) – 49 + 24 =
= (х + 7)2 – 25.
(х + 7)2 – 25 = 0,
(х + 7)2 = 25.
х + 7 = -5 или х + 7 = 5.
х1 = -12; х2 = -2.
Ответ: -12; -2.

Формула корней квадратного уравнения
Корни квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0
можно найти по формуле
, где D = b2 – 4ac -
дискриминант квадратного уравнения.

Формула корней квадратного уравнения
Возможны 3 случая:
1. D > 0.
Тогда уравнение имеет 2 различных корня:
, .
2х2 + 7x - 4 = 0.
a = 2, b = 7, c = -4.
D = 72 – 4 ∙ 2 ∙ (-4) = 81 > 0,
,
.

Формула корней квадратного уравнения
2. D = 0.
Тогда уравнение имеет единственный корень:
х2 - 4x + 4 = 0.
D = (-4)2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 = 0, .

Формула корней квадратного уравнения
3. D < 0.
Тогда уравнение не имеет корней,
т. к. не существует .
3х2 - x + 7 = 0.
D = (-1)2 – 4 ∙ 3 ∙ 7 = -83 < 0,
значит корней нет.

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Если b = 2k, то корни уравнения
ах2 + 2kx + c = 0 находятся по формуле
,
где .

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Решить уравнение
1. х2 + 18x + 32 = 0.
а = 1; b = 18 k = b : 2 = 9; c = 32.
D1 = D : 4 = (18 : 2) – 1 ∙ 32 = 49 > 0,
значит уравнение имеет 2 корня:

Корни квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом
Решить уравнения
2. 3х2 + 2x + 1 = 0.
а = 3; b = 2 k = b : 2 = 1; c = 1.
D1 = D : 4 = 12 – 1 ∙ 3 = -2 < 0,
значит корней нет.
3. 196х2 - 28x + 1 = 0.
а = 196; b = -28 k = b : 2 = -14; c = 1.
D1 = D : 4 = (-14)2 – 196 = 0,
значит уравнение имеет 1 корень .

Приведенное квадратное уравнение
Приведенное квадратное уравнение – это уравнение вида х2 + px + q = 0.
х2 + 14x + 24 = 0.
Для каждого квадратного уравнения можно записать равносильное ему приведенное уравнение, разделив обе части квадратного на старший коэффициент.
5х2 + 3x - 2 = 0 х2 + 0,6x – 0,4 = 0.

Формула корней приведенного квадратного уравнения
х2 + px + q = 0.
х2 - x - 6 = 0.
p = -1, q = -6,

Теорема Виета
Теорема. Если х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0, то
х1 + х2 = -р
х1 ∙ х2 = q
х1 = -1; х2 = 3 – корни уравнения х2 - 2x - 3 = 0.
р = -2, q = -3.
х1 + х2 = -1 + 3 = 2 = -р,
х1 ∙ х2 = -1 ∙ 3 = q.
формулы Виета

Теорема Виета для квадратного уравнения общего вида
Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного уравнения а х2 + bx + c = 0, то
х1 = 1,5; х2 = 2 – корни уравнения 2 х2 - 7x + 6 = 0.
х1 + х2 = 3,5,
х1 ∙ х2 = 3.

Теорема, обратная
теореме Виета
Теорема. Если числа х1, х2, р и q связаны условиями
х1 + х2 = -р
х1 ∙ х2 = q
то х1 и х2 – корни приведенного квадратного уравнения х2 + px + q = 0.
Составим квадратное уравнение по его корням
Искомое уравнение имеет вид х2 - 4x + 1 = 0.

Квадратный трехчлен
Квадратным трехчленом называется многочлен вида а х2 + bx + c,
где а, b, с – числа, а ≠ 0, х – переменная.
3х2 - 2x + 7;
Корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c – это корни уравнения а х2 + bx + c = 0 .

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
Теорема. Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена а х2 + bx + c, то
а х2 + bx + c = а(х - х1)(х - х2 ).
Разложить на множители 12 х2 - 5x - 2.
- корни уравнения 12 х2 - 5x – 2= 0.
Значит 12 х2 - 5x – 2 =

Неприводимый многочлен
Если квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет корней, то соответствующий многочлен
(со старшим коэффициентом 1)
называется неприводимым многочленом второй степени (так как его невозможно разложить на множители меньшей степени).
Квадратный трехчлен 5х2 + 3x + 2 не имеет корней.
Его невозможно разложить на множители первой степени. Можно вынести числовой коэффициент за скобки 5х2 + 3x + 2 =5(х2 + 0,6x + 0,4).

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе
Схема решения:
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
Решить получившееся уравнение.
Исключить из его корней те числа, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе
Общий знаменатель: (t + 1)(t - 2).
Умножим на него обе части уравнения:
t(t – 2) – (t +2)(t + 1) = 1∙(t + 1)(t – 2)
t2 – 2t – t2 – 3t – 2 = t2 – t – 2
t2 + 4t = 0 t(t + 4) = 0 t1 = 0, t2 = -4.
Ни одно из чисел не обращает в нуль
общий знаменатель.
Ответ: 0; -4.

Уравнения, содержащие неизвестное в знаменателе
Общий знаменатель: х(х – 3)(х + 3) . Тогда:
2х – (х – 3) = (6 – х)(х – 3) х2 – 8х + 15 = 0
х1 = 3 – посторонний корень, так как при х = 3 общий знаменатель х(х – 3)(х + 3) = 0.
х2 = 5 – корень.
Ответ: 5.

Биквадратные уравнения
Уравнение вида ах4 + bx2 + c = 0,
где а ≠ 0, b и с - заданные числа, называется биквадратным.
9х4 + 17х2 - 2 = 0
Заменой х2 = t сводится к квадратному уравнению.
9t2 + 17t - 2 = 0
Ответ: .
Нет корней
или
или

Решение уравнений методом замены неизвестного
Нет корней
Ответ: 43.

Модуль
Модуль числа х – это расстояние от начала отсчета до точки х на координатной прямой.
|x| = 6 означает, что расстояние от начала отсчета до точки х равно 6.
а, если а > 0
|а| = -а, если а < 0
0, если а = 0
6
6

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
| х2 - 2х - 39| = 24.
х2 - 2х - 39 = 24 х2 - 2х - 39 = -24
х1 = 9; х2 = -7 х3 = -3; х4 = 5.
Ответ: 1,6; 1; -1; 6/11.

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком модуля
9х2 - = 0.
x > 0, x < 0,
9х2 - = 0 9х2 - = 0.
x > 0, x < 0,
9х2 – 1 = 0 9х2 + 1 = 0.
нет решений
Ответ: .