Лекция 11

Преобразование Фурье
где:
Дискретный сигнал бесконечной длительности;
Спектр дискретного сигнала – непрерывная периодическая
функция частоты w c периодом равным частоте
дискретизации.
Алгоритм вычисления непрерывного спектра
конечной
последовательности
на периоде
в дискретных точках
называется дискретным преобразованием Фурье(ДПФ)

ДПФ периодической последовательности
Периодическую последовательность
с периодом
можно представить в виде ряда, если заменить:
Непрерывное время дискретным
Период по времени t – периодом по времени
То есть
Период дискретизации по частоте
будет равен
Представление
в виде ряда нормированном по времени примет вид:
,где
-коэффициенты
Фурье
-номер
коэффициента
Фурье
а коэффициент Фурье

Представим:
1) последовательность
В виде бесконечной суммы одного её
периода, сдвинутого по оси n на mN , где m=…,-1,0,1,…
Бесконечную сумму в виде бесконечного числа конечных сумм из N
Слагаемых, сдвинутых по оси k на mN, где m =…,-1,0,1,…
Сделав замены , мы получим:
Откуда, ДПФ для последовательности во временной области:

Взаимосвязь
Взаимосвязь между спектрами периодических аналоговых и
дискретных сигналов:

ДПФ для последовательности
в частотной области

Итак…
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) периодической
последовательности xp(n) называется пара взаимно однозначных
дискретных рядов Фурье для последовательностей во временной и
частотной области:
Прямое преобразование
Обратное преобразование(ОДПФ)
Где:
Один период последовательности во временной
области (вещественной или комплексной).
Дискретные коэффициенты Фурье- один период
последовательности в частотной области.

ДПФ конечной последовательности
Какое количество точек выбрать?
Теорема Котельникова
Суть теоремы Котельникова во временной области
Замены
Суть теоремы Котельникова в частотной области

Замены
1) Время заменим на частоту
2) Ширину конечного спектра
на интервале
на длительность конечного сигнала
3) Период дискретизации по времени Т – на период дискретизации по
частоте
Соответственно, с учетом соотношения между
и

ДПФ конечной последовательности
Для дискретного сигнала
получаем
В нормированном времени:
Это нам позволяет определить спектр таким образом:

Итак…
ДПФ описывает алгоритм вычисления N-точечной последовательности X(k), в частотной области
ОДПФ алгоритм вычисления N-точечной последовательности x(n) во временной области
ДПФ справедливо как для периодической, так и для конечной последовательности

Свойства ДПФ
Периодичность
Линейность
Сдвиг(смещение) N-точечного ДПФ
Сдвиг(задержка) N-точечной последовательности
Равенство(теорема) Парсеваля
Свойства симметрии

Дополнительные свойства ДПФ
Круговая(периодическая, циклическая свертка);
ДПФ произведения периодической последовательности(теорема свертки в частной области);
Линейная(апериодическая) свертка;
Секционированные свертки.