Логарифмы

Цели проекта:
обеспечить компьютерную поддержку изучения свойств логарифмов и их применения в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы;
познакомить учащихся с проявлением и применением логарифмов в природе и обществе.

Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.
Основное логарифмическое тождество

Десятичные логарифмы
Если основание логарифма равно 10, то логарифм называется десятичным:
Натуральные логарифмы Если основание логарифма е, то логарифм называется натуральным:

Свойства логарифмов, где а и в - положительны
а > 0, а ≠ 1

Пример:
1)
2)

Логарифмирование
алгебраических выражений
Если число х представлено алгебраическим выражением, то логарифм любого выражения можно выразить через логарифмы составляющих его чисел.

Потенцирование
логарифмических выражений
Переход от логарифмического выражения к алгебраическому называется потенцированием, то есть, произвести действие, обратное логарифмированию.

Пример:
Найти X,
если
1
Решение:
x = 30

Частоту любого звука можно выразить формулой

Логарифмируя эту формулу, получаем

Принимая частоту самого низкого «до» за единицу n=1 и приводя логарифмы к основанию 2, имеем

Свойства монотонности логарифмов
Если a > 1 и b > c, то Если 0 < a < 1 и b > c, то

Логарифмическая функция

y = loga x, x>0, a>0, a≠1

Джон Непер
Шотландский математик -изобретатель логарифмов.
В 1590-х годах пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд “Описание удивительных таблиц логарифмов” опубликовал лишь в 1614 году.
Ему принадлежит определение логарифмов, объяснение их свойств, таблицы логарифмов синусов, косинусов, тангенсов и приложения логарифмов в сферической тригонометрии.
(1550 г.— 4 апреля 1617г.)

Логарифмы в музыке
Даже изящные искусства питаются ею
Разве музыкальная гамма не есть -
Набор передовых логарифмов?
Из «Оды экспоненте»
А.А. Эйхенвальд

Звезды, шум и логарифмы
По вертикальной оси отложим блеск звезд в единицах Гиппарха (распределение звезд по субъективным характеристикам (на глаз) на 6 групп), а на горизонтальной - показания приборов.
По графику видно, что объективные и субъективные характеристики не пропорциональны, а прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, а в 2,5 раза. Эта зависимость выражается логарифмической функцией.

Логарифм шума
Единица измерения децибел используется в звуковой технике.
Связано это с тем, что мы реагируем не на абсолютные, а на относительные изменения уровня какого-либо воздействия, в том числе и звукового.
Если сила звука (интенсивность, I, Вт/м2) изменится в 10 раз, то субъективное ощущение громкости — всего лишь на одну ступеньку, при 100-кратном увеличении силы звука — на две (lg100 = 2), при 1000-кратном — на три (lg1000 = 3). Поэтому увеличение или уменьшение силы звука принято измерять в логарифмических единицах и каждое десятикратное изменение силы звука оценивается единицей, называемой Бел (Б). На практике используется в основном единица, равная десятой части Бела - децибел.
Значение в децибелах равно десяти десятичным логарифмам отношения интенсивностей двух сигналов.

На рисунке видно, что эта спираль пересекает все прямые, проходящие через полюс под одним и тем же углом.
Логарифмическая спираль

Раковины морских животных могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем каждый следующий виток подобен предыдущему. А такой рост может совершаться лишь по логарифмической спирали или ее аналогиям. Поэтому раковины многих моллюсков, улиток, закручены по логарифмической спирали.

Рога таких животных, как архары, закручены по логарифмической спирали.
В подсолнухе семечки расположены по дугам, близким к логарифмической спирали

По логарифмической спирали формируется и тело циклона

По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности – Галактика Солнечной системы.

Литература
Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Москва. Просвещение. 2008 г.
Журнал «Математика в школе»
Газета «Математика». Приложение к «Первое сентября».