Логарифмы

План:
Определение.
Свойства.
Десятичные и натуральные логарифмы.
Логарифмическая функция, ее свойства и график.
Решение логарифмических уравнений и неравенств.

Определение логарифма:
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a≠1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b.
Основное логарифмическое тождество:
alogab= b, где b>0, a>0
Действие нахождения логарифма называется логарифмированием.

Свойства логарифмов:
Loga(bc)=logab+ logac
Loga (b/с)= logab-logac
Logabr=rlogab
Logab=logcb/logca
Logab=1/logba
alogbc= clogba
Logarb=1/r logab
alogab= b

Десятичные и натуральные логарифмы:
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10. Записывается lgb
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где e-иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом записывается lnb

Логарифмическая функция.
Логарифмическая функция: y=logax
Свойства:
Множество значений логарифмической функции -множество всех положительных чисел
Множество значений логарифмической функции-множество R всех действительных чисел.
Логарифмическая функция y=logax является возрастающей на промежутке x>0, если a>1, и убывающей, если 0
Если a>1, то функция y=logax принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 0
1.
Логарифмическая функция y=logax и показательная функция y=ax, где a>0, a≠1, взаимно обратны.

Логарифмическая функция
и её график:
y
y
1
1
a
a
1
-
1/a
1
1/a
1
-
1
x
x
y=logax, 0
y=logax, a>1

Логарифмические уравнения
Решить уравнение:
Log2(x+1)+ Log2(x+3)=3
Решение:
Используя свойство логарифма, получаем:
Log2(x+1)(x+3)=3
Из этого равенства по определению логарифма получаем:
(x+1)(x+3)=8.
Теперь раскроем скобки и решим квадратное уравнение x2+4x-5=0, откуда x1=1, x2=-5
При X2=-5 числа (x+1 и x+3)<0, следовательно x=-5 не является корнем уравнения.
Ответ. X=1

Решение систем:
Решить систему уравнений:
log2x - log2y = 1,
4y2 +x - 12= 0.
Решение:
Из первого уравнения выразим x через y:
log2 x/y=log22, x/y=2, x=2y. Подставив x=2y во второе уравнение системы, получим 4y2 +2y – 12=0, откуда y1=3/2, y2=-2. Найдем значения x: x1=3, x2=-4. Проверка показывает, что -4 и -2 – постороннее решение.
Ответ. X=3, y=3/2.