ЛОГІКИ КВАЗІАРНИХ ПРЕДИКАТІВ 1 -го ПОРЯДКУ

1. Кожний ПС є формулою. Такi формули назвемо атомарними.
2. Нехай Φ – формула. Тодi – формули.
3. Нехай Φ та Ψ – формули. Тодi ∨ΦΨ – формула.
Множину всіх формул позначимо Fr.
Як і для мов ПЛ та РНЛ, використовуємо скорочення формул.
σ(Φ) – множина всіх тих р∈Рs, які входять до складу формули Φ.
nm(Φ) – множина всіх предметних імен v∈V, які фігурують в символах реномінації формули Φ.
Така nm(Φ) – множина імен формули Φ.
q(Φ) – множина всіх v∈V, які фігурують в символах квантифікації, що входять до складу Φ.
Така q(Φ) – множина кванторних імен формули Φ.
nq(Φ) = nm(Φ)\q(Φ) – множина некванторних імен формули Φ.
Розширюємо σ, пт, q, nq на множини формул

Інтерпретуємо мову ЧНКЛ на КС еквітонних предикатів кванторного рівня.
Задамо тотальне однозначне I : Ps→ ЕPrA, яке визначає значення ПС як базові предикати відповідної АС даних (А, ЕPrA)
Такі АС даних – неокласичнi АС із еквітонними предикатами.
Відображення I прив'язує АС даних (А, ЕPrA) до мови.
Отримуємо об'єкти вигляду ((A, ЕPrA), I) – АС ЕП з доданою сигнатурою.
Така АС фактично визначає KC (VA, ЕPrA, C)
АС з доданою сигнатурою ((A, ЕPrA), I) позначаємо (A, I).
АС з доданою сигнатурою є інтегрованими семантичними моделями, які пов'язують мову ЧНКЛ із АС даних. Називаємо їх моделями мови
Для інтерпретації формул продовжимо I до відображення Fr→ЕPrA

1. I(¬Φ) = ¬(I(Φ)).
2. I(∨ΦΨ) = ∨(I(Φ), I(Ψ)).
3.
4. I(∃xΦ) = ∃x(I(Φ)).
Предикат I(Φ) – значення формули Φ при інтерпретації A=(A, I)
Позначаємо його ΦA
Φ (частково) істинна, або неспростовна при інтерпретації A = (A, I), або A-істинна, якщо ΦA – істинний предикат.
Цей факт позначимо A |= Φ.
Φ виконувана при інтерпретації A =(A, I), або A-виконувана, якщо ΦA – виконуваний предикат.
Φ всюди iстинна, якщо Φ iстинна при кожнiй iнтерпретацiї.
Цей факт позначимо |= Φ.
Φ виконувана, якщо Φ виконувана при деякiй iнтерпретацiї.

Успадкування властивостей ПЛ для ЧНКЛ відбувається перенесенням на рівень ЧНКЛ понять тавтології, тавтологічних наслідку і еквiвалентностi.
Тавтологiї – формули, якi мають структуру тавтологiй мови ПЛ.
Формула пропозиційно нерозкладна, якщо вона атомарна або вигляду чи ∃xΦ
Fr0 – множина всiх пропозиційно нерозкладних формул мови L.
Iстиннiсна оцiнка мови L – довiльне τ : Fr0 →{T, F}.
Продовжимо τ до вiдображення τ : Fr→{T, F}:
– τ(¬Φ)=T ⇔ τ(Φ)=F;
– τ(∨ΦΨ)=T ⇔ τ(Φ)=T або τ(Ψ)=T.
Φ тавтологiя, якщо τ(Φ)=T при кожнiй iстиннiснiй оцiнцi τ
Кожна тавтологія є всюди істинною формулою.
Приклад. Формули вигляду ∃x∃yΦ↔∃y∃xΦ всюди iстинні, але не тавтологiї.

На множинi формул мови ЧНКЛ введемо відношення
тавтологiчного наслiдку ╞ , тавтологiчної еквiвалентностi ~т ,
логiчного наслiдку |=,
слабкого логiчного наслiдку ||=
логiчної еквiвалентностi ~.
Ψ є тавтологiчним наслiдком Φ (позн. Φ╞ Ψ), якщо Φ→Ψ – тавтологiя.
Φ та Ψ тавтологiчно еквiвалентнi (позн. Φ~тΨ): Φ╞ Ψ та Ψ╞ Φ
Ψ є логiчним наслiдком Φ (позн. Φ|=Ψ): Φ→Ψ всюди iстинна.
Φ та Ψ логiчно еквiвалентнi (позн. Φ ~ Ψ): Φ|=Ψ та Ψ|=Φ.
Зрозумiло, що Φ ~ Ψ ⇔ формули Φ→Ψ та Ψ→Φ всюди iстиннi.
Ψ є слабким логiчним наслiдком формули Φ, що позн. Φ||=Ψ, якщо ∀ A iз A |=Φ випливає A |=Ψ.

Основні властивості відношень ╞, |=, ||= та ~:
1) Φ тавтологія ⇔ ╞ Φ;
2) Φ всюди істинна ⇔ |=Φ ⇔ ||=Φ;
3) Φ╞ Ψ ⇒ Φ|=Ψ; але не завжди Φ|=Ψ ⇒ Φ╞ Ψ;
4) Φ|=Ψ ⇒ Φ||=Ψ; але не завжди Φ||=Ψ ⇒ Φ|=Ψ;
5) Φ~тΨ ⇔ Φ↔Ψ тавтологія
6) Φ ~ Ψ ⇔ |=Φ↔Ψ;
7) відношення ╞ , |= та ||= рефлексивні і транзитивні;
8) відношення ~ рефлексивне, транзитивне і симетричне.

Теорема 1 (про розширення). Нехай АС однієї сигнатури A = (А, IА) і В = (А, IВ) та формула Φ такі:
∀р∈σ(Φ) ∀δ∈VA із рA(δ)↓ випливає рВ(δ)↓=рA(δ).
Тоді ∀d∈VA із ΦA(d)↓ випливає ΦВ(d)↓=ΦA(d).
Доводиться індукцією за побудовою формули Φ.
Теорема вірна для загального випадку логік квазіарних предикатів.
Нехай A = (А, IА) і В = (А, IВ) – АС однiєї сигнатури.
АС В – система розширень для АС A, якщо ∀р∈Ps ∀δ∈VA із рA(δ)↓ випливає рВ(δ)↓ = рA(δ).
Наслідок. Нехай В=(А, IВ) – система розширень для АС A=(А, IА). Тоді для довільних Φ та d∈VA
із ΦA(d)↓ випливає ΦВ(d)↓ = ΦA(d).

Ім'я x∈V неiстотне для формули Φ, якщо ∀ A = (A, I) x неiстотне для ΦA .
Критерій неістотності предметних імен для формул встановлює
Теорема 2. Ім'я x∈V неістотне для Φ ⇔ |=Φ↔∀xΦ
Враховуючи, що завжди |=∀xΦ→Φ та |=Φ→∃xΦ, дістаємо
Наслідок. Ім'я x∈V неістотне для Φ ⇔ |=Φ→∀xΦ ⇔ |=Φ↔∀xΦ ⇔ |=∃xΦ↔Φ ⇔ |=∃xΦ→Φ
Неістотні імена дають змогу робити перейменування квант. імен.
Теорема 3. Нехай у∈V неістотне для Φ. Тоді
Наслідок. Нехай у∈V неістотне для Φ. Тоді
Основою евівалентних перетворень формул ЧНКЛ є
Теорема 4 (семантичної еквiвалентостi). Нехай Φ' отримана iз Φ замiною деяких входжень формул Φ1,...,Φn на Ψ1, ..., Ψn вiдповiдно. Якщо |=Φ1↔Ψ1, ..., |=Φn ↔Ψn, то |=Φ↔Φ'

Семантичні властивості ЧНКЛ
Для ЧНКЛ успадковуються властивості пропозиційного рівня.
Із реномінативного рівня успадковуємо специфічні властивості формул, пов'язані з реномінацією.
RT) Згортка тотожної пари імен у реномінації:
R¬) R¬-дистрибутивність:
R∨) R∨-дистрибутивність:
Аналогічно – властивості R→, R&, R↔, R⊕.
RR) Згортка реномінацій:
RN) Нехай у неістотне для формули Φ. Тоді

Вкажемо властивості кванторного рівня, які не використовують реномінації. Вони цілком аналогічні властивостям класичної логіки:
S1) |=Φ→∃xΦ та |=∀xΦ→Φ.
S2) |=Φ ⇔|=∀xΦ.
S3) Φ||=∀xΦ та ∀xΦ||=Φ, але не завжди Φ|=∀xΦ.
S4) Якщо |=Φ, то |=∃xΦ, |=Φ↔∃xΦ та |=Φ↔∀xΦ.
S5) Якщо |=Φ→Ψ, то |=∃xΦ→∃xΨ та |=∀xΦ→∀xΨ.
S6) Якщо |=Φ→Ψ та |=Ψ→∀xΨ, то |=∃xΦ→Ψ.
S7) Якщо |=Φ→Ψ та |=Φ→∀xΦ, то |=Φ→∀xΨ.
S8) |=∃x∃yΦ↔∃y∃xΦ та |=∀x∀yΦ↔∀y∀xΦ.
S9) |=∃xΦ↔∀x∃xΦ; |=∃xΦ↔∃x∃xΦ; |=∀xΦ↔∀x∀xΦ; |=∀xΦ↔∃x∀xΦ.
S10) |=∃y∀xΦ→∀x∃yΦ, але не завжди |=∀x∃yΦ→∃y∀xΦ.
S11) |=∀xΦ↔¬∃x¬Φ та |=∃xΦ↔¬∀x¬Φ.
S12) |=Φ↔∀xΦ ⇔ |=Φ→∀xΦ ⇔ |=∃xΦ→Φ ⇔ |=∃xΦ↔Φ.
S13) |=∃xΦ∨∃xΨ↔∃x(Φ∨Ψ) та |=∀xΦ&∀xΨ↔∀x(Φ&Ψ).
S14) |=∃x(Φ&Ψ)→∃xΦ&∃xΨ та |=∀xΦ∨∀xΨ→∀x(Φ∨Ψ).

Властивості, пов'язані з композиціями квантифікації та реномінації:
R∃х)
∀хR) NR) при х∉{у, u1,...,un} − аналітична неістотність верхніх імен в реномінаціях
Зокрема, при х≠у маємо
R∃) при − обмежена R∃-дистр-ть
RZ) Нехай х неістотне для Φ. Тоді ∀у∈V маємо:
− згортка за неістотним іменем.
Зокрема,
RВ)
Зокрема,

Умова є істотною для властивості R∃. Справді:
при v≠u;
Для пронесення символів реномінації через ∃х, якщо умова для R∃ не виконується, потрібно спочатку замінити підформулу ∃хΦ на де z неістотне для Φ та z∉{v1,...,vn, u1,...,un}. Тому для виконання еквівалентних перетворень довільних формул треба мати потенційно нескінченний запас неістотних імен. Це дає змогу пронести символи реномінації вглиб формули і перетворити формулу до вигляду, близького до класичного, коли реномінації застосовні тільки до ПС.
Для формул класичної логіки істотними є тільки їх вільні предметні імена, від яких може залежати значення відповідних предикатів. В класичній логіці ∀ базового предикату за допомогою спеціальної функції арності ar : Ps→N визначається скінченна стандартна множина істотних імен: для п-арного предикату істотними є саме імена 1, …, п. Для НКЛ важлива в першу чергу неістотність предметних імен. Тому для базових предикатів НКЛ будемо вказуємо множину неістотних імен, від яких не залежить значення таких предикатів.

Імена, неістотність яких для базових предикатів постулюється, називаються синтетично неістотними.
Нехай для визначення синтетично неістотних імен задана μ: Ps→2V.
Таку функцію продовжимо до μ : Fr→2V :
μ(¬Φ) = μ(Φ);
μ(∨ΦΨ) = μ(Φ)∩μ(Ψ);
= (μ(Φ)∪{v1,...,vn}) \{xi | vi∉μ(Φ), i∈{1,…,n}.
μ(∃xΦ) = μ(Φ)∪{x}
Пару (Ps, μ) назвемо сигнатурою синтетичної неістотності.
Така сигнатура є аналогом сигнатури класичної логіки (Ps, ar).
На відміну від класичного випадку, вона не впливає на множину формул НКЛ, але обмежує клас інтерпретацій.
Тотальна неістотність імені x означає
Тому при завданні синтетично неістотних імен за допомогою функції μ множиною тотально неістотних імен буде
Постулювання наявності нескінченної множини тотально неістотних імен вимагає, щоб VT була нескінченною.

Отже, для НКЛ розглядаємо тільки такі мови та інтерпретації, для яких задана функція μ, що гарантує нескінченність
Теорема 5. Нехай х∈μ(Φ). Тоді х неістотне для Φ
Наслідок. Якщо x∈μ(Φ), то |=Φ→∀xΦ та |=∃xΦ→Φ
Якщо для умова не виконується, то візьмемо тотально неістотне z:
Oтримуємо загальну R∃-дистрибутивність:
R∃∃)
тут z тотально неістотне та

Нормальні форми в ЧНКЛ
Ψ –варіанта формули Ξ, якщо Ψ утворена із Ξ посл. замінами підформул вигляду ∃хΦ на підформули при умові у∈μ(Φ).
Теорема (про варіанту). Нехай Ψ – варіанта формули Ξ. Тоді |=Ψ↔Ξ.
Формула Ψ – в різнокванторній формі, якщо всі входження кванторних префіксів у формулу Ψ (якщо вони є) − по різних тотально неістотних іменах, причому кожне у∈q(Ψ) не може лежати в області дії такого, що
Формулу в різнокванторній формі назвемо різнокванторною.
Формула Ψ – в нормальній формі, якщо всі символи реномінації формули Ψ (якщо вони є) застосовані тільки до ПС, та всі входження кванторних префіксів у Ψ – по різних тотально неістотних іменах.
Отже, Ψ – в нормальній формі, якщо вона різнокванторна та всі символи реномінації формули Ψ (якщо вони є) застосовані тільки до ПС.
Формулу в нормальній формі назвемо нормальною.

Теорема. Для кожної Φ можна збудувати різнокванторну Ξ: |=Φ↔Ξ
Кожному входженню ∃х в Φ зіставимо нове тотально неістотне ім’я із V, причому різним входженням кванторних префіксів зіставимо різні тотально неістотні імена. Просуваючись по Φ зліва направо, замінюємо кожну підформулу вигляду ∃хА на формулу де у – тотально неістотне ім’я, співставлене такому входженню ∃х в Φ.
Так збудована Ψ різнокванторна, в силу маємо |=Φ↔Ψ. Зрозуміло, що Ψ – варіанта формули Φ
Теорема. Для кожної Φ можна збудувати нормальну Ψ: |=Φ↔Ψ
За Φ побудуємо її варіанту – різнокванторну Φ1. Тоді |=Φ1↔Φ
За Φ1 будуємо Ψ. Використовуючи R¬, R∨, RR, проносимо всі символи реномінації вглиб формули до рівня ПС. Отримуємо Ψ таку, що |=Φ1↔Ψ. При цьому всі входження кванторних префіксів в Ψ – по різних тотально неістотних іменах. Отже, Ψ – нормальна, а в силу |=Φ1↔Φ та |=Φ1↔Ψ маємо |=Φ↔Ψ
Нормальну формулу Ψ, отриману із даної формули Φ так описаним способом, назвемо нормалізантою формули Φ
Наслідок. Нехай Ψ − нормалізанта формули Φ. Тоді |=Φ↔Ψ

Визначимо множину fr(Φ) квазівільних імен формули Φ.
Для цього задамо функцію fr: Fr→2V :
∀р∈Ps покладемо fr(р) = ∅. Далі значення fr визначаємо індуктивно:
fr(¬Φ) = fr(Φ);
fr(∨ΦΨ) = fr(Φ)∪fr(Ψ);
fr(∃xΦ) = fr(Φ)\{x};
(fr(Φ)\{v1,...,vn})∪{x1,...,xn}.
Звідси fr(∀xΦ) = fr(∃xΦ) = fr(Φ)\{x} та
Для встановлення неістотності предметних імен важливою є
Теорема. Якщо у∈μ(р) ∀ ПС р ф-ли Φ та у∉fr(Φ), то у∈μ(Φ).
Теорема доводиться індукцією за побудовою формули Φ.
Наслідок 1. Нехай у∈V неістотне ∀ ПС формули Φ та у∉nm(Φ). Тоді у∈μ(Φ).
В силу fr(Φ)⊆пт(Φ) з умови у∉пт(Φ) випливає умова у∉fr(Φ).
Наслідок 2. Нехай у∈V тотально неістотне та у∉nm(Φ). Тоді у∈μ(Φ).
Формула Φ квазізамкнена, якщо fr(Φ)=∅.

Квазізамкнені формули є синтаксичними аналогами замкнених формул класичної логіки, проте семантичними аналогами замкнених формул їх вважати не можна. До складу формули можуть входити ПС, для яких множини істотних імен нескінченні. Можливість для формули бути залежною від нескінченної множини предметних імен є визначальною властивістю логіки квазіарних предикатів, зокрема, НКЛ, що істотно її відрізняє від класичної логіки.
Пропозиційною схемою формули Φ назвемо ПФ Prop(Φ), отриману із Φ опусканням усіх символів, окрім ПС та символів проп. зв'язок.
Теорема. Нехай формулa Φ квазізамкнена, Prop(Φ) не тавтологія і не суперечність, причому Φ не містить спеціальних ПС із явно виділеними істотними іменами (наприклад, символи рівності =ху). Тоді існують АС A=(А, I) та d1, d1∈VA такі, що ΦА(d1) = T та ΦА(d2) = F.
Якщо Prop(Φ) не тавтологія і не суперечність, то існують істиннісні оцінки τ1, τ2 такі, що τ1(Prop(Φ)) = T та τ2(Prop(Φ)) = F. Візьмемо z∈V: z∉nm(Φ) та z∉μ(Φ). Візьмемо А = {a, b}. d∈Anm(Φ) та ∀р∈σ(Φ) визначимо рА(d)↑.
∀d∈Anm(Φ) та ∀р∈σ(Φ) задамо рА(d∇za) = τ1(p) та рА(d∇zb) = τ2(p).
Тоді ΦА(d∇za) = T та ΦА(d∇zb) = F

Таким чином, для логіки квазіарних предикатів квазізамкнені формули необов'язково інтерпретуються як константні предикати. У той же час для випадку класичної логіки кожна замкнена формула на кожній АС відповідної сигнатури завжди інтерпретується як як ≡T або ≡F
Теорема. ∀ формули Φ можна побудувати квазізамкнену нормальну формулу Ξ таку, що |=Φ ⇔ |=Ξ.
За Φ спочатку будуємо її різнокванторну варіанту Φ1
Якщо fr(Φ) = fr(Φ1) = ∅, далі будуємо нормальну формулу Ψ
Позаяк fr(Ψ) = fr(Φ1) = ∅, то Ψ квазізамкнена, вона нормалізантa формули Φ, тому |=Φ↔Ψ. Звідси |=Φ ⇔ |=Ψ, тому Ψ – шукана формула Ξ.
Нехай fr(Φ) = fr(Φ1) ={u1,...,uk}≠∅. Візьмемо множину {у1,...,уk} тотально неістотних імен таких, що {у1,...,уk}∩nm(Φ1)=∅. Всі у1,...,уk неістотні для Φ1. Тоді |=Φ1 ⇔ |=Φ ⇔ |=∀u1…∀ukΦ1 , звідки |=∀u1…∀ukΦ1 ↔Φ2 , де Φ2 – це формула .
Звідси |=Φ1 ⇔ |=Φ2 . Згідно R¬, R∨, RR проносимо всі реномінації вглиб формули до рівня ПС. Отримуємо Ξ таку, що |=Φ2 ↔ Ξ. При цьому fr(Ξ)=∅, всі входження кванторних префіксів в Ξ – по різних тотально неістотних іменах. Отже, квазізамкнена Ξ – в нормальній формі, згідно |=Φ↔Φ1, |=Φ1↔Φ2 та |=Φ2↔Ξ маємо |=Φ ⇔ |=Ξ.
Така Ξ – квазізамкнена нормалізанта формули Φ.

Відношення логічного наслідку для множин формул ЧНКЛ
Γ та Δ – множини формул мови сигнатури Ps.
A=(А, I) – АС сигнатури Ps.
Δ є логічним наслідком Γ в АС A, якщо ∀d∈VA
ΦА(d)=T ∀Φ∈Γ ⇒ неможливо ΨА(d)=F ∀Ψ∈Δ.
Позначаємо Γ |=А Δ
Δ є логічним наслідком Γ, якщо
Γ |=А Δ ∀ АС A=(А, I) сигнатури Ps .
Це позначаємо Γ |= Δ
Звідси: Γ |≠ Δ ⇔ існують АС A=(А, I) та d∈VA такі:
∀Φ∈Γ маємо ΦА(d)=T та ∀Ψ∈Δ маємо ΨА(d)=F
Відношення |= для множин формул рефлексивне, але не транзитивне
Теорема (заміни еквівалентних). Нехай Φ ~ Ψ. Тоді
Φ, Γ |= Δ ⇔ Ψ, Γ |= Δ та Γ |= Δ, Φ ⇔ Γ |= Δ,Ψ.

Властивості відношення |=
G1, G2 та П1–П10 успадковуються на кванторному рівні
Вкажемо властивості відношення |=, пов‘язані з композиціями реномінації та квантифікації.
Вони безпосередньо відтворюють відповідні властивості формул.
Кожна така властивість розщеплюється на дві властивості для |=
RT|−)
RT−|)
RR|−)
RR−|)
R¬|−)
R¬−|)

R∨|−)
R∨−|)
PsN|−) при у∈μ(р), де р∈Ps
PsN−|) при у∈μ(р), де р∈Ps
ΦN|−) при умові у∈μ(Φ).
ΦN−|) при умові у∈μ(Φ).
Умову у∈μ(Φ) можна ослабити до умови у неістотне для Φ.
Базові властивості відношення |= на реномінативному рівні:
П1–П4 та RT|-, RТ-|, RR|-, RR-|, R¬|-, R¬-|, R∨|-, R∨-|, PsN|-, PsN-|

Властивості, пов‘язані з кванторами та реномінаціями:
R∃|−)
R∃−|)
R∃∃|−)
R∃∃−|)
Для R∃∃|− та R∃∃−| z тотально неістотне та
Вл-ті R∃|−, R∃−|, R∃∃|−, R∃∃−| переформульовуються для ∀х.

Властивості, пов‘язані з елімінацією кванторів:
∃|−)
∃−|)
∀|−) ∀−|)
Базові властивості відношення |= на кванторному рівні:
П1–П4 та RT|-, RТ-|, RR|-, RR-|, R¬|-, R¬-|, R∨|-, R∨-|, PsN|-, PsN-| ,
ΦN|−, ΦN-| , R∃|−, R∃−|, R∃∃|−, R∃∃−|, ∃−| , ∃|−

Cемантично несуперечливі множини формул
Множина формул Γ семантично несуперечлива (сумісна), якщо існують АС A=(А, I) та d∈VA такі, що ΦА(d)=T для всіх Φ∈Γ.
Звідси: Γ семантично суперечлива (несумісна), якщо не існують АС A=(А, I) та d∈VA такі, що ΦА(d)=T для всіх Φ∈Γ.
Модель сумісності множини формул Γ – це АС A=(A, I) така:
для деякого d∈VA маємо ΦА(d)=T ∀Φ∈Γ.
Теорема 1. Γ сем. несуперечлива ⇔ Γ має модель сумісності.
Теорема 2. Γ сем. несуперечлива ⇔ ∀ Φ маємо Γ |≠Φ&¬Φ
Наслідок. Γ сем. суперечлива ⇔ для деякої Φ маємо Γ |=Φ&¬Φ
Теорема 3. Якщо Γ сем. суперечлива, то ∀ Φ маємо Γ |=Φ.
Якщо Γ |≠Φ для деякої Φ, то існують АС A = (А, I) та d∈VA: ΦА(d)=F та ΞА(d)=T ∀Ξ∈Γ. Але ΞА(d)=T ∀Ξ∈Γ означає несуперечливість Γ
Модель істинності множини формул Γ – це АС A=(A, I) така: ∀d∈VA ∀Φ∈Γ маємо ΦА(d) ≅ T.
Для логік ПЕП кожна модель істинності є моделлю сумісності.
Для логік ЕП це невірно: розгл. АС, де ∀ ПС інтерпретується як усюди невизначений пр-т
Кожна АС із ЕП може бути довизначена до АС із ПЕП.

Неокласичні логіки функціонально-екваційного рівня
ФЕНКЛ – це НКЛ функціонально-екваційного рівня – ФКНЛР ЕП
Семантичні моделі ФЕНКЛ – КС еквітонних квазіарних функцій і предикатів функціонально-екваційного рівня (VA, ЕFnA∪ЕPrА, C)
C визначається множиною базових композицій
(ЕFnA∪ЕPrА, C) – композиційна алгебра квазіарних функцій і предикатів функціонально-екваційного рівня.
Побудова такої алгебри визначає мову ФЕНКЛ.
Алфавіт мови ФЕНКЛ
– V – множина предметних імен
– Fns – множина функціональних (ФНС) символiв
– Dns – множина деномінаційних (ДНС) символiв
– Ps – множина предикатних (ПС) символiв
– символи базових композицій
Множину Fпs∪Dns позначимо Fs.
Множину Fns∪Ps назвемо сигнaтурою мови ФЕНКЛ.

Множини термів Тr і формул Fr вводимо індуктивно.
Т1. Кожний ФС є термом. Такi терми назвемо атомарними.
Т2. Нехай τ, t1,..., tn – терми. Тодi – терм.
Ф1. Кожний ПС є формулою. Такi формули назвемо атомарними.
Ф2. Нехай t та s – терми. Тодi =ts – формулa.
Ф3. Нехай Φ – формулa, t1,..., tn – терми. Тодi – формулa
Ф4. Нехай Φ та Ψ – формули. Тодi ¬Φ, ∨ΦΨ та ∃xΦ – формули.
σ(ϕ) – множина сигнатурних символів термa чи формули ϕ.
nm(Φ) – множина всіх v∈V, які фігурують в символах суперпозиції та квантифікації формули Φ.
Така nm(Φ) – множина явних імен формули Φ.
dnm(Φ) – множина всіх v∈V, відповідних до ДНС формули Φ.
ndn(ϕ) = nm(Φ)∪dnm(Φ) – множина імен формули Φ.
q(Φ) – множина всіх v∈V, які є в символах квантифікації ф-ли Φ.
nq(Φ) = ndn(Φ)\q(Φ)
Розширюємо σ, пт, dnm, ndn, q, nq на множини формул

Множина fr(Φ) квазівільних імен формули Φ:
∀f∈Fns ∀р∈Ps покладемо fr(f) = fr(р) = ∅.
∀ ДНС 'х покладемо fr('x) = {x}.
fr(=ts) = fr(t)∪fr(s);
fr(¬Φ) = fr(Φ);
fr(∨ΦΨ) = fr(Φ)∪fr(Ψ);
fr(∃xΦ) = fr(Φ)\{x};

Інтерпретуємо мову ФЕНКЛ на КС еквітонних квазіарних ф-ій та пр-ів
Задамо тотальне однозначне I : Fs∪Рs→ЕFnA∪ЕPrA, яке визначає значення сигнатурних символів ПС як базові функції та предикати відповідної АС даних (А, ЕFnA∪ЕPrA )
При цьому I(’v) =’v ∀’v∈Dns.
Такі АС даних – неокласичнi АС із еквітонними функціями та предикатами.
Отримуємо об'єкти ((A, EFnA∪EPrA), I) – АС ЕФ та ЕП з доданою сигнатурою.
Кожна така АС фактично визначає KC (VA, EFnA∪EPrA, C)
АС з доданою сигнатурою ((A, EFnA∪EPrA), I) скорочено позначаємо (A, I).
АС з доданою сигнатурою є інтегрованими семантичними моделями, які пов'язують мову ЧНКЛ із АС даних. Називаємо їх моделями мови
Продовжимо I до відображення Fr∪Тr→ЕFnA∪ЕРrА:
2. I(=ts) = =(I(t), I(s)).
4. I(¬Φ) = ¬(I(Φ)).
5. I(∨ΦΨ) = ∨(I(Φ), I(Ψ)).
6. I(∃xΦ) = ∃x(I(Φ)).

Функцію I(t) – значення терма t при інтерпретації A=(A, I), – позн. tA.
Предикат I(Φ) – значення формули Φ при інт-ї A=(A, I), – позн. ΦA.
Поняття істинності та виконуваності формул – аналог. випадку ЧНКЛ.
Поняття тавтології, тавт. наслідку, тавт. еквiвалентностi для ФЕНКЛ успадковуються з реномінаційного та кванторного рівнів.
Формула пропозиційно нерозкладна, якщо вона атомарна або має вигляд
=ts, ∃xΦ чи
Визначення та властивості відношень логiчного наслiдку, слабкого логiчного наслiдку та логiчної еквiвалентностi для ФЕНКЛ аналогічні відп. визначенням та властивостям для класичної логіки, РНЛ та ЧНКЛ.
Семантичні власт-ті формул ФЕНКЛ індуковані відп. вл-ми композицій.
Для пропозиційних композицій та кванторів такі властивості аналогічні відповідним властивостям формул класичної логіки.
Розглянемо властивості, пов'язані з композиціями
– квантифікації
– суперпозиції
– рівності

Аналогічно S∨ записуються S&, S→, S↔, S⊕
S∃s) Спеціальна дистрибутивність суперпозиції щодо ∃x (тут х∉{v1,..., vn})
Аналогічно записуються S∀, S∀s та S∀∀

ПП) Нехай |=Φ. Тоді

Специфічні властивості рівності.
Rf) рефлексивність: |= t=t ;
Sm) cиметричність: |= s=t ↔ t=s ;
Tr) транзитивність: |= s=t → t=h → s=h ;
Теорема (еквiвалентостi). Нехай Φ' отримана iз формули Φ замiною деяких входжень формул Φ1,...,Φn на Ψ1,...,Ψn. Якщо |=Φ1↔Ψ1,..., |=Φn↔Ψn, то |=Φ↔Φ'.
Теорема (рівності для термів). Нехай τ' отриманий з терма τ замiною деяких входжень термів s1,..., sn на t1, ..., tn.
Якщо |=s1= t1, ..., |=sn= tn , то |=τ = τ'.
Теорема (рівності для формул). Нехай Φ' отримана з формули Φ замiною деяких входжень термів s1, ..., sn на t1, ..., tn.
Якщо |=s1= t1, ..., |=sn =tn, то |=Φ↔Φ'.

Ім'я x∈V неiстотне для формули Φ, якщо
∀ A = (A, I) x неiстотне для ΦA .
Ім'я x∈V неiстотне для терма τ, якщо
∀ A = (A, I) x неiстотне для τA .
Критерії неістотності предметних імен для формул та термів:
Теорема. Ім'я x∈V неістотне для Φ ⇔ |=Φ↔∀xΦ
Теорема. Ім’я х∈V неістотне для τ ⇔
|=∀у(τ = Sx(τ, 'y)) ⇔ |= (τ = Sx(τ, 'y)).
Звідси х∈V неістотне для формули Φ ⇔
|=Φ→∀xΦ ⇔ |=∃xΦ→Φ.
Ім'я x тотально неістотне, якщо воно неiстотне для ∀g∈Fпs∪Ps.
Надалі розглядаємо такі інтерпретації, для яких виділена нескінченна підмножина VТ ⊆V тотально неістотних імен.

∀g∈Fs∪Ps множину синтетично неістотних предметних імен визначимо за допомогою тотальної μ : Fs∪Ps →2V.
При цьому ∀'x∈Dns μ('x) = V\{x}.
Продовжимо таку функцію до μ : Tr ∪Fr→2V так:
μ(=ts) = μ(t)∩μ(s)
μ(¬Φ) = μ(Φ)
μ(∨ΦΨ) = μ(Φ)∩μ(Ψ)
μ(∃xΦ) = μ(Φ)∪{x}
Пару (Fs∪Ps, μ) назвемо сигнатурою синтетичної неістотності.
Множина тотально неістотних імен мусить бути нескінченною
Семантичною основою ФЕНКЛ є КС еквітонних функцій та предикатів з додатковою вимогою наявності нескінченної множини тотально неістотних предметних імен.

Теорема. 1) Нехай х∈μ(τ). Тоді х неістотне для терма τ. 2) Нехай х∈μ(Φ). Тоді х неістотне для формули Φ.
Наслідок. 1) Якщо x∈μ(τ), то |=∀у(τ=Sx(τ, 'y).
2) Якщо x∈μ(Φ), то |=Φ→∀xΦ та |=∃хΦ→Φ.
Теорема. Нехай х∈μ(g) ∀g∈σ(F) та х∉fr(F). Тоді х∈μ(Φ).
В силу fr(Φ)⊆dnт(Φ) із х∉dnт(Φ) випливає х∉fr(Φ). Тому
Наслідок 1. Нехай х∈μ(g) ∀g∈σ(Φ) та х∉dnm(Φ). Тоді х∈μ(Φ).
Наслідок 2. Нехай х∈V тотально неістотне та х∉dnm(Φ). Тоді х∈μ(Φ).
Ψ – варіанта формули Ξ, якщо Ψ утворена із Ξ послідовними замінами підформул ∃хΦ на підформули ∃уSx(Φ, ‘y) при у∈μ(Φ).
Теорема (про варіанту). Нехай Ψ − варіанта формули Ξ.
Тоді |=Ψ↔Ξ.

Нормальні форми в ФЕНКЛ
Формула Ψ знаходиться в різнокванторній формі, якщо:
– всі входження кв. префіксів у Ψ − по різних тотально неіст. іменах;
– ∀ підформули вигляду якщо А містить ∃х, то
Формула Ψ знаходиться в нормальній формі (або НФ) якщо:
– всі вх-ня квант. префіксів у Ψ − по різних тотально неістотних іменах;
– всі символи суперпозиції формули Ψ застосовні тільки до ФС чи ПС.
Неважко переконатись, що кожна нормальна формула є різнокваторною.
Терм мови ФЕНКЛ нормальний, якщо
– всі його символи суперпозиції застосовані тільки до ФС
– згорнуті неістотні імена і виконані спрощення згідно
SST, ZNT, ZT, DS, DD
Нормальна формула ФЕНКЛ стандартнa, якщо
– для її термів та підформул згорнуті неістотні імена
– виконані спрощення згідно ZNФ, ZФ та всі її терми нормальні.

Теорема. ∀ формули Φ можна збудувати різнокванторну Ψ: |=Φ↔Ψ.
∀ входженню кванторного префіксу ∃х в cкладі підформули ∃хА зіставимо тотально неістотне у∈μ(А): у∉ndn(Φ) та різним входженням кванторних префіксів зіставлені різні тотально неістотні імена.
Зрозуміло, що всі такі імена неістотні для кожного терма формули Φ.
Просуваючись по Φ зліва направо, замінимо ∀ підформулу вигляду ∃хА на ∃уSx(А, ‘y), де у − тотально неістотне, зіставлене такому входженню ∃х в формулу Φ. Отримаємо варіанту формули Φ – різнокванторну Ψ.
Згідно |=∃хА↔∃уSx(А, ‘y) за теоремою еквівалентності |=Φ↔Ψ
Теорема. ∀ ф-ли Φ можна збудувати стандартну нормальну Ξ: |=Φ↔Ξ.
За Φ будуємо різнокванторну ф-лу Ψ як описано вище. Маємо |=Φ↔Ψ.
Використовуючи S¬, S∨, S∃, SE, а також SSФ та SSТ, проносимо всі символи cуперпозиції, згортаючи їх при потребі, вглиб формули до рівня ФС та ПС. Для спрощення використовуємо DD, DS, ZNT, ZT, ZNФ, ZФ. Отримуємо Ξ: |=Ψ↔Ξ.
Така Ξ − нормальна, а згідно |=Φ↔Ψ та |=Ψ↔Ξ маємо |=Φ↔Ξ
НФ Ξ, отримана із даної Ф описаним способом – нормалізанта ф-ли Φ.
Наслідок. Нехай Ξ − нормалізанта формули Φ. Тоді |=Φ↔Ξ.